Salut!
1) On utilise le théorème de Thalès :
Les droites IL et IM se coupent en I, H est sur la droite (IM) et K sur (IL). (HK) et (ML) donc parallèles donc, d'après le théorème (des rapports égaux) on a :
IH/IM = IK/IL=HK/ML
On utilise : IH/IM = IK/IL donc IH = IM * (IK/IL) (* veut dire fois)
On IK = 2,5 et KL=IJ=2 d'après le codage donc IL = IK+KL = 2,5+2 = 4,5 et IK/IL = 2,5/4,5 = 25/45 = 5/9
De plus, IM = IH+HM donc IH = (IH + 3,2)*(5/9)
IH = (5/9)IH + 3,2*5/9 = (5/9)IH + 16/9
IH (9/9 - 5/9) = 16/9
IH * (4/9) = 16/9
IH * 4 = 16
IH = 16/4 = 4
2) Le triangle GHI est rectangle en H. D'après Pythagore : GH²+HI²=GI²
donc GI = √(GH²+HI²) = √(9+16) = 5
3) Si IK=k*IG et IJ = k*IH, alors le triangle IJK est l'image du triangle IHG par l'homothétie de rapport k et on aura aussi JK = k*HG
(je n'ai rien de mieux à proposer...)(je ne mets pas de signe - pour indiquer qu'à chaque fois ça part de I et qu'on ne part pas dans le même sens, vérifie dans ton cours s'il faut le mettre ou pas)
Calculons k = IK/IG = 2,5/5 = 0,5
Calculons k = IJ/IH = 2/4 = 0,5
On trouve bien deux valeurs égales donc c'est vrai.
Donc On a aussi k = JK/GH = 0,5 et donc JK=3/2=1,5
4) Réciproque du théorème de Thalès:
si IJ²+JK² = IK² alors le triangle IJK est rectangle en J (IK est son hypoténuse) et donc (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.
5) Réciproque deThalès :
Les droites (GK) et (HJ) se coupent en I. Si IJ/IH = IK/IG=JK/GH alors les droites (GH) et (JK) sont parallèles (je crois qu'il suffit de démontrer qu'un seul rapport est vrai, c'est suffisant)
