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Lililoulou2000
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Dans un repère orthonormé, on considère les points M(2;-1), N(5;1) et P(-2;5). 1/ Démontrez que le triangle MNP est rectangle. 2/ Déterminez par le calcul les coordonnées du point Q tel que le quadrilatère PMNQ soit un rectangle.


Merci d'avance pour votre aide.

Sagot :

Ramzi13
calculer les longueurs : MN ; MP  ;PN
          __________       _____      ___         __
MN=√(5-2)²+(1+1)²  = √ 3²+2² = √9+4 =    √13                            -(-) = +
         ___________      ______      _____     __
MP=√(-2-2)²+(5+1)²  =√(-4)²+6² = √16+36 =√52   
          __________       ______     _____     __
PN =√(5+2)²+(1-5)² = √7²+(-4)² =√49+16 =√65
                              __                                       __       __                                   
               PN² =(√65)² = 65  ;   MP²+MN² =(√52)²+(√13)² =52+13=65
               
              PN²=MP²+MN², donc: le triangle MNP est rectangle en M

calculer les coordonnées de Q :
                                             →     →
PMNQ un rectangle , donc: PQ =MN  ; supposons: Q(x ; y)
                          →                           →                   →
                          PQ(x+2 ; y-5)   ;   MN(5-2 ;1+1) , MN(3 ; 2)
 →    →
PQ =MN ⇔ x+2=3   et   y-5=2
                    x=3-2          y=2+5
                     x=1             y=7     donc : Q(1 ; 7)

Syogier
Bonjour,
Graphiquement on s'aperçoit le triangle MNP est rectangle en M . On va le démontrer en comparant les coefficients directeurs des droites (MP) et (MN)
Pour former un angle droit en M, il faut que les deux droites soient perpendiculaires donc de coefficient directeur inverse et opposé
coefficient directeur de (MP)  : xP-xM / yP-yM = -2-2 / 5 -(-1) = -4 / 6 = -2/3
coefficient directeur de (MN) : xN-xM / yN-yM = 5-2/ 1-(-1) = 3 /2 et 3/2 est bien l'inverse et l'opposé de -2/3 : (MP) ⊥ (MN) donc MNP est un triangle rectangle en M
2/ pour que le quadrilatère PMNQ soit un parallélogramme , il faut que les diagonales MQ et PN possèdent le même milieu : I 
I= (xP+xN)/2 ; (yP+yN)/2 ) = -2+5 /2 . 5+1 /2 = ( 3/2  ; 3)
I milieu de MQ = (xQ+xM) /2 ; (yQ+yM) /2) = (3/2 ;3)
On détermine les coordonnées de Q /
(xQ +2) /2 = 3/2  et (yQ-1)/2 = 3    xQ = 1 et yQ = 7
Le parallélogramme PMNQ possédant un angle droit, il est rectangle
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