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x et y deux réels strictement positifs tels que:
x < 3 et y < 1/2 et xy=1
1/ Montrer que:
2 < x < 3 et 1/3 < x < 1/2

2/ Montrer que:
3/7 < 1/x-2y < 1


Sagot :

xy = 1  =>  x= 1/ y  , si y =1/2 alors x = 1 / 1/2 = 2 ; si y < 1/2 alors x > 2

2 < X < 3

si xy= 1 alors y = 1/ x  , si x = 3 alors y = 1/3 et si x < 3 alors y >1/3
1/3 < Y < 1/2





1) montrer que : 2<x<3:

on a : y<1/2   et  (x strictement positif )   donc: xy < (1/2)x 
   
 xy=1 , donc :  1< (1/2)x

et :    x<3  : donc : (1/2)x < (1/2)(3)
                            (1/2)x < 3/2

on a : 1< (1/2)x  et (1/2)x < 3/2 donc : 1 <  (1/2)x <  3/2                                                                                          (multuplier tous par 2)
                     
   donc :  2(1) < 2(1/2)x < 2(3/2)
                                    2 < (2/2)x < 6/2
                                   2 < x < 3
                          .....................................
 montrer que : 1/3 < x < 1/2

on a :  x < 3  et  (y strictement positif ) : donc xy < 3y   
        xy = 1 donc :  1 < 3y

  et : y < 1/2  , donc:  3y < 3(1/2)    
                                  3y < 3/2
on a : 1< 3y   et   3y < 3/2  ,,donc: 1 < 3y < 3/2 ( multiplier tous par 1/3)
                                            donc: (1/3)(1) < (1/3)(3y) < (1/3)(3/2)
                                                        1/3 < (3/3)y < 3/6
                                                         1/3 < y < 1/2
                              ...........................................................
montrer que : 3/7  < 1/(x-2y) < 1
on a: 1/3 < y < 1/ 2   ;.donc :     2(1/3) < 2y < 2(1/2)
                                                    2/3 < 2y < 1          et    2 < x < 3
                                        donc:      2-1 < x- 2y < 3 - 2/3
                                                       1 < x-2y < 9/3 - 2/3
                                                        1 < x-2y < 7/3
                                             donc: 1/(7/3) < 1/(x-2y) < 1/1
                                                      3/7 < 1/(x-2y) <1