Bonjour,
Je peux faire la partie B :
f(x) = (5x²+200x+80) / x²+16 définie sur [0 ; 22]
1. f(0) = (5*0² +200*0 +80) / 0² +16 = 80/16 = 5
f(8) = (5*8² +200*8 +80) /8² +16 = (320 +1600+80) /(64+16) = 2000 / 80 = 25
2. f(x) est de la forme u / v donc f'(x) est de la forme u'v - uv' /v²
avec u = 5x² +200x+80 et u' = 10x +200 et v = x²+16 , v' =2x
f'(x) = (10x+200) (x²+16) - 2x(5x²+200x+80) / (x²+16)²
=10x^3+160x+200x²+3200 -10x^3-400x²-160x /(x²+16)²
= -200x²+3200 / (x²+16)(x²+16) = -200 (x²-16) /(x²+16)²
c) étudions le signe du numérateur sur R :-200 (x²-16)
x²-16 > 0 => (x-4) (x+4) > 0 => x-4 > 0 => x > 4 ou x+4>0 => x > -4
x : - ∞ -4 4 +∞
(x-4) - - 0 +
(x+4) - 0 + +
x²-16 + 0 - 0 +
-200(x²-16) - 0 + 0 -
Etude du signe de f'(x) sur [0 ; 22]
x : 0 4 22
-200(x²-16) : + -
(x²+16)² : + +
f'(x) : + 0 -
f'(x) est positive sur [0 ; 4[ et négative sur ]4 ; 22]
f(x) est croissante sur [0 ; 4[ et décroissante sur ]4 ; 22]
