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Sagot :
Bonjour
Unerondoudou
1) a) Comment se présente l'univers Oméga lié à cette situation? Quel est son cardinal?
[tex]\Omega=\{(t;c)\ tel\ que\ :1\le t\le4,1\le c \le6\ avec\ t,c\in\mathbb{N}\}[/tex]
Puisqu'il y a 4 possibilités pour t et qu'à chacune de ces possibilités, il y en a 6 pour c, au total, il y aura 4 x 6 = 24 possibilités pour les couples (c ; t).
Par conséquent, [tex]\boxed{card(\Omega)=24}[/tex]
b) Dresser un tableau à double entrée définissant la loi de probabilité p sur Oméga?
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4&5&6\\1&(1;1)&(1;2)&(1;3)&(1;4)&(1;5)&(1;6)\\2&(2;1)&(2;2)&(2;3)&(2;4)&(2;5)&(2;6)\\3&(3;1)&(3;2)&(3;3)&(3;4)&(3;5)&(3;6)\\4&(4;1)&(4;2)&(4;3)&(4;4)&(4;5)&(4;6)\\ \end{array}[/tex]
c) On considère les événements A: t<=3 et B: t+c=8
Calculer p(A); p(B) et p(AnB)
Les éléments de l'événement A sont les couples se trouvant dans les trois premières lignes du tableau.
Il y en a 3 x 6 = 18.
d'où
[tex]P(A)=\dfrac{18}{24}\\\\\boxed{P(A)=\dfrac{3}{4}}[/tex]
L'événement B = {(2 ; 6) ; (3 ; 5) ; (4 ; 4)} ==> card(B) = 3
D'où
[tex]P(B)=\dfrac{3}{24}\\\\\boxed{P(B)=\dfrac{1}{8}}[/tex]
L'événement [tex]A\cap B=\{(2;6);(3;5\}\Longrightarrow card(A\cap B)=2[/tex]
D'où
[tex]P(A\cap B)=\dfrac{2}{24}\\\\\boxed{P(A\cap B)=\dfrac{1}{12}}[/tex]
2)On suppose, dans cette question, que l’événement A est réalisé
a) Quel est l'univers lié à cette nouvelle situation?
[tex]\Omega_A=\{(t;c)\ tel\ que\ :1\le t\le3,1\le c \le6\ avec\ t,c\in\mathbb{N}\}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4&5&6\\1&(1;1)&(1;2)&(1;3)&(1;4)&(1;5)&(1;6)\\2&(2;1)&(2;2)&(2;3)&(2;4)&(2;5)&(2;6)\\3&(3;1)&(3;2)&(3;3)&(3;4)&(3;5)&(3;6)\\ \end{array}[/tex]
[tex]\boxed{card(\Omega_A)=18}[/tex]
b) Quelle est la probabilité de l’événement B, sachant que A est réalisé?
Dans le cas où A est réalisé, l'événement B ne comprend que deux éléments : (2 ;6) et (3 ; 5)
D'où
[tex]P_A(B)=\dfrac{2}{18}\\\\\boxed{P_A(B)=\dfrac{1}{9}}[/tex]
c) En déduire une expression de cette probabilité en fonction de p(A) et p(AnB)
Nous avons :
[tex]P_A(B)=\dfrac{2}{18}\ \ \ et\ \ \ P(A\cap B)=\dfrac{2}{24}\ \ \ et\ \ \ P(A)=\dfrac{18}{24}[/tex]
Nous en déduisons ceci :
[tex]P_A(B)=\dfrac{2}{18}=\dfrac{\dfrac{2}{24}}{\dfrac{18}{24}}=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}}[/tex]
d) On considère l’événement C: t+c=5
Quel est la probabilité de l’événement C sachant que A est réalisé?
Si A est réalisé, les éléments de C sont (1 ; 4) ; (2 ; 3) et (3 ; 2).
D'où card(C) = 3
Par conséquent
[tex]P_A(C)=\dfrac{3}{18}\\\\\boxed{P_A(C)=\dfrac{1}{6}}[/tex]
e) Quelle incidence semble avoir la réalisation de A sur la probabilité C?
Si nous ne savons pas que l'événement A est réalisé, alors C comprendrait 4 éléments : (1 ; 4) ; (2 ; 3) ; (3 ; 2) et (4 ; 1).
Donc
[tex]P(C)=\dfrac{4}{24}\\\\\boxed{P(C)=\dfrac{1}{6}}[/tex]
Nous en déduisons donc que : [tex]\boxed{P_A(C)=P(C)}[/tex]
Nous voyons donc que la réalisation ou non de l'événement A n'a aucune incidence sur l'événement C.
En déduire une expression de p(AnC) en fonction de p(A) et de p(C).
Selon la question 2c), nous pouvons écrire : [tex]P_A(C)=\dfrac{P(A\cap C)}{P(A)}[/tex]
D'où nous obtenons :
[tex]\dfrac{P(A\cap C)}{P(A)}=P(C)\\\\\\\boxed{P(A\cap C)=P(A)\times P(C)}[/tex]
1) a) Comment se présente l'univers Oméga lié à cette situation? Quel est son cardinal?
[tex]\Omega=\{(t;c)\ tel\ que\ :1\le t\le4,1\le c \le6\ avec\ t,c\in\mathbb{N}\}[/tex]
Puisqu'il y a 4 possibilités pour t et qu'à chacune de ces possibilités, il y en a 6 pour c, au total, il y aura 4 x 6 = 24 possibilités pour les couples (c ; t).
Par conséquent, [tex]\boxed{card(\Omega)=24}[/tex]
b) Dresser un tableau à double entrée définissant la loi de probabilité p sur Oméga?
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4&5&6\\1&(1;1)&(1;2)&(1;3)&(1;4)&(1;5)&(1;6)\\2&(2;1)&(2;2)&(2;3)&(2;4)&(2;5)&(2;6)\\3&(3;1)&(3;2)&(3;3)&(3;4)&(3;5)&(3;6)\\4&(4;1)&(4;2)&(4;3)&(4;4)&(4;5)&(4;6)\\ \end{array}[/tex]
c) On considère les événements A: t<=3 et B: t+c=8
Calculer p(A); p(B) et p(AnB)
Les éléments de l'événement A sont les couples se trouvant dans les trois premières lignes du tableau.
Il y en a 3 x 6 = 18.
d'où
[tex]P(A)=\dfrac{18}{24}\\\\\boxed{P(A)=\dfrac{3}{4}}[/tex]
L'événement B = {(2 ; 6) ; (3 ; 5) ; (4 ; 4)} ==> card(B) = 3
D'où
[tex]P(B)=\dfrac{3}{24}\\\\\boxed{P(B)=\dfrac{1}{8}}[/tex]
L'événement [tex]A\cap B=\{(2;6);(3;5\}\Longrightarrow card(A\cap B)=2[/tex]
D'où
[tex]P(A\cap B)=\dfrac{2}{24}\\\\\boxed{P(A\cap B)=\dfrac{1}{12}}[/tex]
2)On suppose, dans cette question, que l’événement A est réalisé
a) Quel est l'univers lié à cette nouvelle situation?
[tex]\Omega_A=\{(t;c)\ tel\ que\ :1\le t\le3,1\le c \le6\ avec\ t,c\in\mathbb{N}\}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4&5&6\\1&(1;1)&(1;2)&(1;3)&(1;4)&(1;5)&(1;6)\\2&(2;1)&(2;2)&(2;3)&(2;4)&(2;5)&(2;6)\\3&(3;1)&(3;2)&(3;3)&(3;4)&(3;5)&(3;6)\\ \end{array}[/tex]
[tex]\boxed{card(\Omega_A)=18}[/tex]
b) Quelle est la probabilité de l’événement B, sachant que A est réalisé?
Dans le cas où A est réalisé, l'événement B ne comprend que deux éléments : (2 ;6) et (3 ; 5)
D'où
[tex]P_A(B)=\dfrac{2}{18}\\\\\boxed{P_A(B)=\dfrac{1}{9}}[/tex]
c) En déduire une expression de cette probabilité en fonction de p(A) et p(AnB)
Nous avons :
[tex]P_A(B)=\dfrac{2}{18}\ \ \ et\ \ \ P(A\cap B)=\dfrac{2}{24}\ \ \ et\ \ \ P(A)=\dfrac{18}{24}[/tex]
Nous en déduisons ceci :
[tex]P_A(B)=\dfrac{2}{18}=\dfrac{\dfrac{2}{24}}{\dfrac{18}{24}}=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}}[/tex]
d) On considère l’événement C: t+c=5
Quel est la probabilité de l’événement C sachant que A est réalisé?
Si A est réalisé, les éléments de C sont (1 ; 4) ; (2 ; 3) et (3 ; 2).
D'où card(C) = 3
Par conséquent
[tex]P_A(C)=\dfrac{3}{18}\\\\\boxed{P_A(C)=\dfrac{1}{6}}[/tex]
e) Quelle incidence semble avoir la réalisation de A sur la probabilité C?
Si nous ne savons pas que l'événement A est réalisé, alors C comprendrait 4 éléments : (1 ; 4) ; (2 ; 3) ; (3 ; 2) et (4 ; 1).
Donc
[tex]P(C)=\dfrac{4}{24}\\\\\boxed{P(C)=\dfrac{1}{6}}[/tex]
Nous en déduisons donc que : [tex]\boxed{P_A(C)=P(C)}[/tex]
Nous voyons donc que la réalisation ou non de l'événement A n'a aucune incidence sur l'événement C.
En déduire une expression de p(AnC) en fonction de p(A) et de p(C).
Selon la question 2c), nous pouvons écrire : [tex]P_A(C)=\dfrac{P(A\cap C)}{P(A)}[/tex]
D'où nous obtenons :
[tex]\dfrac{P(A\cap C)}{P(A)}=P(C)\\\\\\\boxed{P(A\cap C)=P(A)\times P(C)}[/tex]
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