Sagot :
Bonjour Yacine931
Exercice 1
1) Une équation de la tangente T à C au point d'abscisse a est de la forme
y = f '(a)(x - a) + f(a)
O(0;0) ∈ T ⇔ 0 = f '(a)(0 - a) + f(a)
O(0;0) ∈ T ⇔ 0 = -af '(a) + f(a)
Par conséquent, O(0;0) ∈ T ⇔ f(a) - af '(a) = 0
2) La tangente T passe par O(0;0).
Selon la question précédente, nous avons : f(a) - af '(a) = 0
Or
[tex]f(x)=2x^3+3x^2-12x-4\Longrightarrow f(a)=2a^3+3a^2-12a-4\\\\f'(x)=6x^2+6x-12\Longrightarrow f'(a)=6a^2+6a-12[/tex]
Donc
[tex]f(a)-af'(a)=0\\\\2a^3+3a^2-12a-4-a(6a^2+6a-12)=0\\2a^3+3a^2-12a-4-6a^3-6a^2+12a=0\\-4a^3-3a^2-4=0\\4a^3+3a^2+4=0[/tex]
Montrons que cette dernière équation n'admet qu'une seule solution.
Soit la fonction f définie sur R par [tex]f(a)=4a^3+3a^2+4[/tex]
Etudions les variations de cette fonction f.
[tex]f(a)=4a^3+3a^2+4\\\\f'(a)=12a^2+6a\Longrightarrow\boxed{f'(a)=6a(2a+1)}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|}a&-\infty&&-\frac{1}{2}&&0&&+\infty\\6a&&-&-&-&0&+&\\2a+1&&-&0&+&+&+&\\f'(a)=6a(2a+1)&&+&0&-&0&+&\\f(a)&-\infty&\nearrow&4,25&\searrow&4&\nearrow&+\infty\\ \end{array}[/tex]
La fonction f est continue sur R.
Sur l'intervalle ]-oo ; -1/2], la fonction f est strictement croissante.
[tex]\lim\limits_{a\to-\infty}f(a)=-\infty\ \ et\ \ f(-\dfrac{1}{2})=4,25\ \textgreater \ 0[/tex]
Selon la théorème de la bijection, il existe une seule valeur [tex]\alpha\in]-\infty;-\dfrac{1}{2}][/tex] telle que [tex]f(\alpha)=0[/tex]
De plus, le tableau de variations de f montre que f est strictement positive sur l'intervalle [-1/2 ; +oo[
Donc f n'admet pas de racine sur cet intervalle [-1/2 ; +oo[.
Par conséquent, il existe une seule valeur [tex]\alpha\in\mathbb{R}[/tex] telle que [tex]f(\alpha)=0[/tex]
Nous en déduisons donc que l'équation [tex]4a^3+3a^2+4=0[/tex] n'admet qu'une seule solution [tex]\alpha[/tex]
D'où, la tangente T à la courbe C passant par O est unique.
3) Encadrement de [tex]\alpha[/tex]
Par la question précédente, nous savons que [tex]\alpha\ \textless \ -\dfrac{1}{2}[/tex]
De plus,
[tex]f(-2)=-16\ \textless \ 0\ \ et\ \ f(-1)=3\ \textgreater \ 0\Longrightarrow-2\ \textless \ \alpha\ \textless \ -1\\\\f(-1,5)=-2,75\ \textless \ 0\ \ et\ \ f(-1)=3\ \textgreater \ 0\Longrightarrow-1,5\ \textless \ \alpha\ \textless \ -1\\\\f(-1,25)=0,875\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ f(-1)=3\ \textgreater \ 0\Longrightarrow-1,5\ \textless \ \alpha\ \textless \ -1,25\\\\...[/tex]
En poursuivant les encadrements successifs, nous obtenons [tex]\boxed{-1,4\ \textless \ \alpha\ \textless \ -1,3}[/tex]
Exercice 1
1) Une équation de la tangente T à C au point d'abscisse a est de la forme
y = f '(a)(x - a) + f(a)
O(0;0) ∈ T ⇔ 0 = f '(a)(0 - a) + f(a)
O(0;0) ∈ T ⇔ 0 = -af '(a) + f(a)
Par conséquent, O(0;0) ∈ T ⇔ f(a) - af '(a) = 0
2) La tangente T passe par O(0;0).
Selon la question précédente, nous avons : f(a) - af '(a) = 0
Or
[tex]f(x)=2x^3+3x^2-12x-4\Longrightarrow f(a)=2a^3+3a^2-12a-4\\\\f'(x)=6x^2+6x-12\Longrightarrow f'(a)=6a^2+6a-12[/tex]
Donc
[tex]f(a)-af'(a)=0\\\\2a^3+3a^2-12a-4-a(6a^2+6a-12)=0\\2a^3+3a^2-12a-4-6a^3-6a^2+12a=0\\-4a^3-3a^2-4=0\\4a^3+3a^2+4=0[/tex]
Montrons que cette dernière équation n'admet qu'une seule solution.
Soit la fonction f définie sur R par [tex]f(a)=4a^3+3a^2+4[/tex]
Etudions les variations de cette fonction f.
[tex]f(a)=4a^3+3a^2+4\\\\f'(a)=12a^2+6a\Longrightarrow\boxed{f'(a)=6a(2a+1)}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|}a&-\infty&&-\frac{1}{2}&&0&&+\infty\\6a&&-&-&-&0&+&\\2a+1&&-&0&+&+&+&\\f'(a)=6a(2a+1)&&+&0&-&0&+&\\f(a)&-\infty&\nearrow&4,25&\searrow&4&\nearrow&+\infty\\ \end{array}[/tex]
La fonction f est continue sur R.
Sur l'intervalle ]-oo ; -1/2], la fonction f est strictement croissante.
[tex]\lim\limits_{a\to-\infty}f(a)=-\infty\ \ et\ \ f(-\dfrac{1}{2})=4,25\ \textgreater \ 0[/tex]
Selon la théorème de la bijection, il existe une seule valeur [tex]\alpha\in]-\infty;-\dfrac{1}{2}][/tex] telle que [tex]f(\alpha)=0[/tex]
De plus, le tableau de variations de f montre que f est strictement positive sur l'intervalle [-1/2 ; +oo[
Donc f n'admet pas de racine sur cet intervalle [-1/2 ; +oo[.
Par conséquent, il existe une seule valeur [tex]\alpha\in\mathbb{R}[/tex] telle que [tex]f(\alpha)=0[/tex]
Nous en déduisons donc que l'équation [tex]4a^3+3a^2+4=0[/tex] n'admet qu'une seule solution [tex]\alpha[/tex]
D'où, la tangente T à la courbe C passant par O est unique.
3) Encadrement de [tex]\alpha[/tex]
Par la question précédente, nous savons que [tex]\alpha\ \textless \ -\dfrac{1}{2}[/tex]
De plus,
[tex]f(-2)=-16\ \textless \ 0\ \ et\ \ f(-1)=3\ \textgreater \ 0\Longrightarrow-2\ \textless \ \alpha\ \textless \ -1\\\\f(-1,5)=-2,75\ \textless \ 0\ \ et\ \ f(-1)=3\ \textgreater \ 0\Longrightarrow-1,5\ \textless \ \alpha\ \textless \ -1\\\\f(-1,25)=0,875\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ f(-1)=3\ \textgreater \ 0\Longrightarrow-1,5\ \textless \ \alpha\ \textless \ -1,25\\\\...[/tex]
En poursuivant les encadrements successifs, nous obtenons [tex]\boxed{-1,4\ \textless \ \alpha\ \textless \ -1,3}[/tex]
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