Bonjour
Yacine931
A : "Les deux dés sont normaux"
B : "On obtient un double six"
1) Prendre simultanément deux dés de l'urne revient à les prendre successivement SANS remise du premier dé tiré.
P(le premier dé est normal) = 2/3
Si le premier dé est normal, alors P(le second dé est normal) = 1/2
Donc
[tex]P(A)=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}\Longrightarrow\boxed{P(A)=\dfrac{1}{3}}\\\\\\P(\overline{A})=1-P(A)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\Longrightarrow\boxed{P(\overline{A})=\dfrac{2}{3}}[/tex]
[tex]2)\ P_A(B)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}\Longrightarrow\boxed{P_A(B)=\dfrac{1}{36}}[/tex]
De plus,
[tex]P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\Longrightarrow P(A\cap B)=P_A(B)\times P(A)\\\\P(A\cap B)=\dfrac{1}{36}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{108}\Longrightarrow\boxed{P(A\cap B)=\dfrac{1}{108}}[/tex]
[tex]3)\ P(B)=P_A(B)\times P(A)+P_{\overline{A}}(B)\times P(\overline{A})\\\\P(B)=\dfrac{1}{36}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{12}\times\dfrac{2}{3}\\\\P(B)=\dfrac{1}{108}+\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{108}+\dfrac{6}{108}=\dfrac{7}{108}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{P(B)=\dfrac{7}{108}}[/tex]
4) La probabilité qu'on ait un dé particulier si on obtient un double six est donnée par [tex]P_B(\overline{A})[/tex]
[tex]P_B(\overline{A})=\dfrac{P(\overline{A}\cap B)}{P(B)}\\\\\\P_B(\overline{A})=\dfrac{\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{12}}{\dfrac{7}{108}}\\\\\\P_B(\overline{A})=\dfrac{\dfrac{2}{36}}{\dfrac{7}{108}}\\\\\\P_B(\overline{A})=\dfrac{\dfrac{6}{108}}{\dfrac{7}{108}}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{P_B(\overline{A})=\dfrac{6}{7}}[/tex]
