Bonjour,
Ex 2)
1) Par lecture du graphique : A(-3;1) ⇔ f(-3) = 1
2) Tangente en A :
Equation : y = f'(-3)(x + 3) + f(-3)
⇔ y = -2(x + 3) + 1
⇔ y = -2x - 5
Pour tracer cette droite qui passe par A, on calcule les coordonnées d'un second point. Par exemple, pour x = 0, y = -5.
Donc cette tangente passe par B(0;-5)
Remarque : On peut se passer de l'équation de la tangente. On sait qu'elle passe par A et que son coefficient directeur vaut f'(-3) = -2. Ce qui signifie que lorsque l'on avance de 1 sur l'axe des x, on descend de 2 sur l'axe des y.
3)
On place le point (1;5), (3;-2).
On trace les tangentes en x=1 et en x=3 :
f'(1) = 0 signifie que la tangente en 1 est horizontale
f'(3) = -8 signifie que le coefficient directeur de la tangente en x=3 vaut -8 (on descend de 8 an y quand on avance de 1 en x)
Ex 4)
a) f(x) = √(x)
⇒ f'(x) = -1/2√(x)
b) g(x) = 7x⁵ + 3x² + 4 + 1/x
⇒ g'(x) = 5.7x⁴ + 3.2x + 0 - 1/x² = 35x⁴ + 6x - 1/x²
c) h(x) = (4x⁴ - 2)(x³ + 5x)
h est de la forme u x v, avec :
u(x) = 4x⁴ - 2 ⇒ u'(x) = 16x³
v(x) = x³ + 5x ⇒ v'(x) = 3x² + 5
Donc h'(x) = (u'v + uv')(x) = 16x³(x³ + 5x) + (4x⁴ - 2)(3x² + 5)
⇔ h'(x) = 16x⁶ + 80x⁴ + 12x⁶ + 20x⁴ - 6x² - 10
⇔ h'(x) = 28x⁶ + 100x⁴ - 6x² - 10
d) i(x) = (4x³ + 1)/(x³ + 2) (les puissances ne sont pas très lisibles)
i est de la forme u/v
Donc i' = (u'v - uv')/v²
2) f(x) = x² + 3
a) Taux d'accroissement en x=2 :
T = [f(2+h) - f(2)]/h ⇒ Réponse 1 ok
T = [(2+h)² + 3 - 2² - 3]/h
⇔ T = (4 + 4h + h² + 3 - 4 - 3]/h
⇔ T = (4h + h²)/h
⇔ T = 4 + h ⇒ Réponse 3 ok
b) Le nombre dérivé en x=1/2 est la limite du taux d'accroissement en x=1/2
Soit lim qd h-->0 [f(1/2 + h) - f(1/2)]/h
⇒ Réponse 2 ok
Si on calcule le taux d'accroissement :
[(1/2 + h)² + 3 - (1/2)² - 3]/h
= (h + h²)/h
= 1 + h
Donc f'(1/2) = lim qd h -->0 (1 + h) = 1
⇒ Réponse 3 ok
