Bonjour,
1)Recette pour 300 produits = -2*[tex] 3^{3} [/tex] +4,5*3² +62*3 = -54 +40,5+186
= 172, 5 centaines d'euros soit 17 250 €
Le bénéfice = recette - coûts . Le coûts pour 300 est de 20*3 +10 = 70 centaines d'euros, soit 7000€
Le bénéfice est de : 17 250 € -7000€ = 10 250 €
2) B(x) = R(x) -C(x) = -2[tex] x^{3} [/tex]+4,5x²+62x -(20x+10)
= -2[tex] x^{3} [/tex] +4,5x²+42x-10
B' (x) = -6x² +9x+42
Etudions le signe de B' sur [0 ; 6]
pour cela on résout d'abord -6x² +9x+42 =0
calcul du discriminant Δ = b²-4ac = 9² -4*(-6)*42 = 81 + 1008 = 1089 =33²
Δ est positif donc deux solutions : x = -b - √Δ / 2a = -9 - 33 / -12 = 3,5 =7/2
et x' = -b + √Δ /2a = -9 +33 /-12 = 24 /-12 =-2
On peut écrire B'(x) sous forme factorisée = -6(x-7/2)(x+2)
x-7/2> 0 => x > 7/2 et x+2> 0 => x > -2
Tableau de signe
a = -6 donc a<0
x : 0 7/2 6
x-7/2 - +
x+2 + +
(x-7/2)(x+2) - 0 +
B'(x) + 0 -
B'(x) ≥ 0 quand x ∈[ 0 ; 7/2]
B'(x) ≤ 0 quand x ∈ [7/2 ; 6]
On peur aller beaucoup plus vite dans l'étude de signe de B'(x) quand on sait que B'(x) est du signe de -a entre les racines, et du signe de a en dehors des racines
Le maximum est donné par x= -b/2a , c'est à dire x= -9/-12 = 3/4, c'est à dire pour 0,75 *100 produits soit 75 produits fabriqués
Le bénéfice est alors de - 6*0.75² +9*0.75+42 ≈ 45,375
Le bénéfice est d'environ 4537, 50€
