Bonjour Mina68
4) La courbe Cf possède-t-elle des tangentes qui soient parallèles à la droite d'équation y= -6x ?
Puisque le coefficient directeur de la droite d'équation y=-6x est -6, il faut donc que f '(x) = -6
[tex]f'(x)=-6\Longrightarrow\dfrac{2g(x)}{x}=-6\\\\\Longrightarrow\dfrac{g(x)}{x}=-3\\\\\Longrightarrow\dfrac{4x^2-3x-1}{x}=-3\\\\\Longrightarrow4x^2-3x-1=-3x\\\\\Longrightarrow4x^2-1=0\\\\\Longrightarrow4x^2=1\\\\\Longrightarrow x^2=\dfrac{1}{4}\\\\\Longrightarrow x=\dfrac{1}{2}\ \ \ (x\ \textgreater \ 0\ \ car\ \ x\ \in\ ]0;3])[/tex]
Par conséquent, la courbe Cf possède une tangente qui soit parallèle à la droite d'équation y= -6x en son point (1/2 ; f(1/2)).
Or
[tex] f(x)=-2\ln x+4x^2-6x+1\\\\\Longrightarrow f(\dfrac{1}{2})=-2\ln\dfrac{1}{2}+4(\dfrac{1}{2})^2-6\times\dfrac{1}{2}+1\\\\\Longrightarrow f(\dfrac{1}{2})=-2\ln(\ln1-\ln2)+4(\dfrac{1}{4})-3+1\\\\\Longrightarrow f(\dfrac{1}{2})=-2\ln(0-\ln2)+1-3+1\\\\\Longrightarrow f(\dfrac{1}{2})=2\ln2-1\\\\\Longrightarrow\boxed{f(\dfrac{1}{2})\approx0386}[/tex]
D'où les coordonnées du point de tangence sont (1/2 ; 2ln2 - 1), soit environ (0,5 ; 0,386)
Graphique en pièce jointe.
