≤Bonsoir ;
Exercice 1 :
1) Pour x=1 on a par la relation : e^x ≥ x+1 (x∈R) , on a e^1≥1+1 donc e≥2 .
2) θ'(x)=e^x + (x-2)e^x + 1 = (x-1)e^x +1 .
3) Ψ'(x) = e^x + (x-1)e^x = x e^x ≥0 pour tout x ∈ [0;+∞[ ,
donc Ψ est croissante sur [0;+∞[ , et comme Ψ(0)=(0-1)e^0+1=-1+1=0 donc Ψ est positive sur [0;+∞[ .
Comme pour tout x ∈ [0;+∞[ : Ψ(x)≥0 donc pour tout x ∈ [0;+∞[ : θ'(x)≥0 .
Voir le fichier ci-joint .
4) Aussi , voir le fichier ci-joint . remarquons aussi que : θ(0) = 0 .
5) On a : ∀ x ∈ [0;+∞[ , θ(x)≥0
donc (x-2)e^x + x + 2 ≥ 0
donc (x-2)e^x ≥ -(x+2)
donc e^x ≤ -(x+2)/(x-2) car x-2<0 pour 0 ≤ x < 2
donc e^x ≤ (x+2)/(2-x)
donc pour x=1 on a : e^1≤3 donc e ≤ 3
donc on a : 2 ≤ e ≤ 3 .
