Bonjour
Oceean
Exercice 1
[tex]z'=\dfrac{z+2i}{1-iz}[/tex]
1) Soit z = x + iy
Alors
[tex]z'=\dfrac{(x+iy)+2i}{1-i(x+iy)}\\\\z'=\dfrac{x+iy+2i}{1-ix+y}\\\\z'=\dfrac{x+i(y+2)}{(1+y)-ix}\\\\z'=\dfrac{[x+i(y+2)][(1+y)+ix]}{[(1+y)-ix][(1+y)+ix]}\\\\z'=\dfrac{x(1+y)+ix^2+i(y+2)(1+y)-(y+2)x}{(1+y)^2+x^2}\\\\z'=\dfrac{x+xy+ix^2+i(y+y^2+2+2y)-xy-2x}{(1+y)^2+x^2}\\\\z'=\dfrac{-x+i(x^2+y^2+3y+2)}{(1+y)^2+x^2}\\\\\boxed{z'=\dfrac{-x}{(1+y)^2+x^2}+\left[\dfrac{x^2+y^2+3y+2}{(1+y)^2+x^2}\right]i}[/tex]
D'où
[tex]\left\{\begin{matrix}\Re(z')=\dfrac{-x}{(1+y)^2+x^2}\\\\\Im(z')=\dfrac{x^2+y^2+3y+2}{(1+y)^2+x^2} \end{matrix}\right.[/tex]
2) a) z' est réel <==> [tex]\Im(z')=0[/tex]
[tex]\dfrac{x^2+y^2+3y+2}{(1+y)^2+x^2}=0\\\\x^2+y^2+3y+2=0\\\\x^2+[y^2+3y+(\dfrac{3}{2})^2]-(\dfrac{3}{2})^2+2=0\\\\x^2+(y+\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{9}{4}+2=0\\\\x^2+(y+\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{1}{4}=0\\\\\boxed{x^2+(y+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{1}{4}}[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit réel est un cercle de centre (0 ; -3/2) et de rayon 1/2.
b) z' est un imaginaire pur <==> [tex]\Re(z')=0[/tex]
[tex]\dfrac{-x}{(1+y)^2+x^2}=0\Longrightarrow -x=0\Longrightarrow\boxed{x=0}[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit un imaginaire pur est la droite d'équation x = 0, soit l'axe imaginaire.
Exercice 2
1) Soit [tex]Z^3+Z^2+Z+1=(Z+1)(aZ^2+bZ+c)[/tex]
Alors
[tex]Z^3+Z^2+Z+1=aZ^3+bZ^2+cZ+aZ^2+bZ+c\\\\Z^3+Z^2+Z+1=aZ^3+(a+b)Z^2+(b+c)Z+c[/tex]
En identifiant les coefficients des diverses puissances de Z, nous avons :
[tex]\left\{\begin{matrix}a=1\\a+b=1\\b+c=1\\c=1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=1\\1+b=1\\b+1=1\\c=1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=1\\b=0\\c=1 \end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{Z^3+Z^2+Z+1=(Z+1)(Z^2+1)}[/tex]
2) Résoudre l'équation suivante :
[tex](\dfrac{z-2i}{z+2i})^3+(\dfrac{z-2i}{z+2i})^2+(\dfrac{z-2i}{z+2i})+1=0[/tex]
Si nous posons [tex]Z=\dfrac{z-2i}{z+2i}[/tex], alors l'équation devient :
[tex]Z^3+Z^2+Z+1=0\\\\(Z+1)(Z^2+1)=0\\\\Z+1=0\ \ ou\ \ Z^2+1=0\\\\Z=-1\ \ ou\ \ Z^2=-1\\\\Z=-1\ \ ou\ \ Z=i\ \ ou\ \ Z=-i\\\\soit\ \ \dfrac{z-2i}{z+2i}=-1\ \ ou\ \ \dfrac{z-2i}{z+2i}=i\ \ ou\ \ \dfrac{z-2i}{z+2i}=-i[/tex]
Or
[tex]\dfrac{z-2i}{z+2i}=-1\Longleftrightarrow z-2i=-z-2i\Longleftrightarrow2z=0\Longleftrightarrow\boxed{z=0}\\\\\\\dfrac{z-2i}{z+2i}=i\Longleftrightarrow z-2i=i(z+2i)\Longleftrightarrow z-2i=iz-2\\\\\Longleftrightarrow z-iz=-2+2i\Longleftrightarrow(1-i)z=-2(1-i)\\\\\Longleftrightarrow z=\dfrac{-2(1-i)}{1-i}\Longleftrightarrow\boxed{z=-2}[/tex]
[tex]\dfrac{z-2i}{z+2i}=-i\Longleftrightarrow z-2i=-i(z+2i)\Longleftrightarrow z-2i=-iz+2\\\\\Longleftrightarrow z+iz=2+2i\Longleftrightarrow(1+i)z=2(1+i)\\\\\Longleftrightarrow z=\dfrac{2(1+i)}{1+i}\Longleftrightarrow\boxed{z=2}[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation est [tex]\boxed{S=\{0;-2;2\}}[/tex]
