Bonjour
Design971
Exercice 2
a) Résoudre le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}2x+y=4\\3x-2y=8 \end{matrix}\right.[/tex]
Soit
[tex]A=\begin{pmatrix}2&1\\3&-2\\\end{pmatrix}\\\\\\X=\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}\\\\\\B=\begin{pmatrix}4\\8\\\end{pmatrix}[/tex]
Alors le système se traduit par : [tex]A\times X=B[/tex]
dét A = -7 ≠ 0 ==> A est inversible.
[tex]A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{7}&\dfrac{1}{7}\\\\\dfrac{3}{7}&-\dfrac{2}{7}\end{pmatrix}[/tex]
D'où,
[tex]X=A^{-1}\times B\\\\X=\begin{pmatrix}\dfrac{16}{7}\\\\-\dfrac{4}{7}\\\end{pmatrix}[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions du système est [tex]\boxed{S=\{(\dfrac{16}{7};-\dfrac{4}{7})\}}[/tex]
b) Résoudre le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}3x+4y+2z=2\\5x-2y-z=-1\\x-4y+3z=13\end{matrix}\right.[/tex]
Soit
[tex]A=\begin{pmatrix}3&4&2\\5&-2&-1\\1&-4&3\\\end{pmatrix}\\\\\\X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}\\\\\\B=\begin{pmatrix}2\\-1\\13\\\end{pmatrix}[/tex]
dét A = -130 ≠ 0 ==> A est inversible.
[tex]A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{13}&\dfrac{2}{13}&0\\\\\dfrac{8}{65}&-\dfrac{7}{130}&-\dfrac{1}{10}\\\\\dfrac{9}{65}&-\dfrac{8}{65}&\dfrac{1}{5}\\\end{pmatrix}[/tex]
D'où
[tex]X=A^{-1}\times B\\\\X=\begin{pmatrix}0\\-1\\3\\\end{pmatrix}[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions du système est [tex]\boxed{S=\{(0;-1;3)\}}[/tex]
Exercice 3
[tex]1)\ A\times B=B\times A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I_3[/tex]
On en déduit que la matrice A est la matrice inverse de la matrice B, soit [tex]A=B^{-1}[/tex]
[tex]2)\ A\times C=\begin{pmatrix}-10\\5\\-10\end{pmatrix}[/tex]
Le système proposé peut s'écrire matriciellement par l'équation : [tex]B\times\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=C[/tex]
Puisque B est inversible, nous avons :
[tex]\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=B^{-1}\times C\\\\\Longrightarrow \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=A\times C\\\\\\\Longrightarrow \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10\\5\\-10\end{pmatrix}[/tex]
Par conséquent, le produit A x C donne la solution du système proposé.
