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Sagot :
Bonjour
Matinaa1
[tex]1)\ T_0=25\\\\T_1=0,85\times T_0+15=0,85\times25+15=36,25\\\\T_2=0,85\times T_1+15=0,85\times36,25+15=45,8125\\\\T_3=0,85\times T_2+15=0,85\times45,8125+15=53,940625\\\\\Longrightarrow\boxed{T_1=36,25\ \ ;\ \ T_2=45,8125\ \ ;\ \ T_3=53,940625}[/tex]
D'où, la température de la boîte de conserve
- au bout d'une minute est de 36,25°C
- au bout de deux minutes est environ de 45,8°C
- au bout de trois minutes est environ de 53,9°C
2) Si la suite (Tn) était arithmétique, nous aurions [tex]T_1-T_0=T_2-T_1[/tex]
Or
[tex]T_1-T_0=36,25-25=11,25\\T_2-T_1=45,8125-36,25=9,5625[/tex]
Puisque 11,25 ≠ 9,5625, la suite (Tn) n'est pas une suite arithmétique.
Si la suite (Tn) était géométrique, nous aurions [tex]\dfrac{T_1}{T_0}=\dfrac{T_2}{T_1}[/tex]
Or
[tex]\dfrac{T_1}{T_0}=\dfrac{36,25}{25}=1,45\\\\\\\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{45,8125}{36,25}\approx1,26[/tex]
Puisque 1,45 ≠ 1,26, la suite (Tn) n'est pas une suite géométrique.
3) Ligne 1 : T prend la valeur 25
Ligne 4 : T prend la valeur 0.85×T+15
4) Nous devons résoudre l'inéquation suivante :
[tex]-75\times0,85^n+100\ge85\\\\-75\times0,85^n\ge85-100\\\\-75\times0,85^n\ge-15\\\\0,85^n\le\dfrac{-15}{-75}\\\\0,85^n\le0,2\\\\\ln(0,85^n)\le\ln(0,2)\\\\n\times\ln(0,85)\le\ln(0,2)\\\\n\ge\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,85)}\ \ [car\ \ \ln(0,85)\ \textless \ 0]\\\\n\ge9,903...[/tex]
Par conséquent, la stérilisation débutera après 10 minutes environ.
Si le logarithme népérien n'a pas encore été étudié, il faut effectuer des tests pour obtenir [tex]0,85^n\le0,2[/tex]
Par exemple :
[tex]0,85^9\approx0,23>0,2\\\\0,85^{10}\approx0,1968744\ \textless \ 0,2[/tex]
Il faut donc avoir n ≥ 10.
[tex]5)\ a)\ A_0=T_0-100=25-100=-75\\\\A_1=T_1-100=36,25-100=-63,75\\\\A_2=T_2-100=45,8125-100=-54,1875\\\\\Longrightarrow\boxed{A_0=-75\ \ ;\ \ A_1=-63,75\ \ ;\ \ A_2=-54,1875}[/tex]
b) Montrons que la suite (An) est géométrique.
[tex]A_{n+1}=T_{n+1}-100\\\\A_{n+1}=(0,85\times T_{n}+15)-100\\\\A_{n+1}=0,85\times T_{n}+15-100\\\\A_{n+1}=0,85\times T_{n}-85\\\\A_{n+1}=0,85\times T_{n}-0,85\times100\\\\A_{n+1}=0,85\times (T_{n}-100)\\\\\boxed{A_{n+1}=0,85\times A_n}[/tex]
Par conséquent,
la suite (Tn) est une suite géométrique de raison 0,85 et donc le premier terme est [tex]T_0=-75[/tex]
[tex]1)\ T_0=25\\\\T_1=0,85\times T_0+15=0,85\times25+15=36,25\\\\T_2=0,85\times T_1+15=0,85\times36,25+15=45,8125\\\\T_3=0,85\times T_2+15=0,85\times45,8125+15=53,940625\\\\\Longrightarrow\boxed{T_1=36,25\ \ ;\ \ T_2=45,8125\ \ ;\ \ T_3=53,940625}[/tex]
D'où, la température de la boîte de conserve
- au bout d'une minute est de 36,25°C
- au bout de deux minutes est environ de 45,8°C
- au bout de trois minutes est environ de 53,9°C
2) Si la suite (Tn) était arithmétique, nous aurions [tex]T_1-T_0=T_2-T_1[/tex]
Or
[tex]T_1-T_0=36,25-25=11,25\\T_2-T_1=45,8125-36,25=9,5625[/tex]
Puisque 11,25 ≠ 9,5625, la suite (Tn) n'est pas une suite arithmétique.
Si la suite (Tn) était géométrique, nous aurions [tex]\dfrac{T_1}{T_0}=\dfrac{T_2}{T_1}[/tex]
Or
[tex]\dfrac{T_1}{T_0}=\dfrac{36,25}{25}=1,45\\\\\\\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{45,8125}{36,25}\approx1,26[/tex]
Puisque 1,45 ≠ 1,26, la suite (Tn) n'est pas une suite géométrique.
3) Ligne 1 : T prend la valeur 25
Ligne 4 : T prend la valeur 0.85×T+15
4) Nous devons résoudre l'inéquation suivante :
[tex]-75\times0,85^n+100\ge85\\\\-75\times0,85^n\ge85-100\\\\-75\times0,85^n\ge-15\\\\0,85^n\le\dfrac{-15}{-75}\\\\0,85^n\le0,2\\\\\ln(0,85^n)\le\ln(0,2)\\\\n\times\ln(0,85)\le\ln(0,2)\\\\n\ge\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,85)}\ \ [car\ \ \ln(0,85)\ \textless \ 0]\\\\n\ge9,903...[/tex]
Par conséquent, la stérilisation débutera après 10 minutes environ.
Si le logarithme népérien n'a pas encore été étudié, il faut effectuer des tests pour obtenir [tex]0,85^n\le0,2[/tex]
Par exemple :
[tex]0,85^9\approx0,23>0,2\\\\0,85^{10}\approx0,1968744\ \textless \ 0,2[/tex]
Il faut donc avoir n ≥ 10.
[tex]5)\ a)\ A_0=T_0-100=25-100=-75\\\\A_1=T_1-100=36,25-100=-63,75\\\\A_2=T_2-100=45,8125-100=-54,1875\\\\\Longrightarrow\boxed{A_0=-75\ \ ;\ \ A_1=-63,75\ \ ;\ \ A_2=-54,1875}[/tex]
b) Montrons que la suite (An) est géométrique.
[tex]A_{n+1}=T_{n+1}-100\\\\A_{n+1}=(0,85\times T_{n}+15)-100\\\\A_{n+1}=0,85\times T_{n}+15-100\\\\A_{n+1}=0,85\times T_{n}-85\\\\A_{n+1}=0,85\times T_{n}-0,85\times100\\\\A_{n+1}=0,85\times (T_{n}-100)\\\\\boxed{A_{n+1}=0,85\times A_n}[/tex]
Par conséquent,
la suite (Tn) est une suite géométrique de raison 0,85 et donc le premier terme est [tex]T_0=-75[/tex]
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