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Sagot :
Bonjour
Pacifica
a) Donner une équation de chacune des médianes du triangle ABC.
Soit A' le milieu de [BC]
B' le milieu de [AC]
C' le milieu de [AB]
Alors déterminons les coordonnées de ces milieux.
[tex]A': (\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2})=(\dfrac{-4-1}{2};\dfrac{3-2}{2})=(\dfrac{-5}{2};\dfrac{1}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{A':(\dfrac{-5}{2};\dfrac{1}{2})}\\\\\\B': (\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2})=(\dfrac{1-1}{2};\dfrac{2-2}{2})=(0;0)\\\\\Longrightarrow\boxed{B':(0;0)}\\\\\\C': (\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})=(\dfrac{1-4}{2};\dfrac{2+3}{2})=(\dfrac{-3}{2};\dfrac{5}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{C':(\dfrac{-3}{2};\dfrac{5}{2})}[/tex]
a) Droite (AA')
L'équation de cette droite est de la forme : y = ax + b.
Recherche de a
[tex]a=\dfrac{y_{A'}-y_A}{x_{A'}-x_A}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2}{\dfrac{-5}{2}-1}=\dfrac{\dfrac{-3}{2}}{\dfrac{-7}{2}}=\dfrac{3}{7}\Longrightarrow\boxed{a=\dfrac{3}{7}}[/tex]
L'équation de (AA') est donc de la forme : [tex]y=\dfrac{3}{7}x+b[/tex]
Recherche de b
Le point A(1;2) appartient à la droite (AA').
Dans l'équation de (AA'), remplaçons x par 1 et y par 2
[tex]2=\dfrac{3}{7}\times1+b\\\\b=2-\dfrac{3}{7}\\\\\boxed{b=\dfrac{11}{7}}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{(AA'):y=\dfrac{3}{7}x+\dfrac{11}{7}}[/tex]
b) Droite (BB')
L'équation de cette droite est de la forme : y = ax + b.
Recherche de a
[tex]a=\dfrac{y_{B'}-y_B}{x_{B'}-x_B}=\dfrac{0-3}{0+4}=-\dfrac{3}{4}\Longrightarrow\boxed{a=-\dfrac{3}{4}}[/tex]
L'équation de (BB') est donc de la forme : [tex]y=-\dfrac{3}{4}x+b[/tex]
Recherche de b
Puisque la droite (BB') passe par le point (0;0), nous avons b = 0
Par conséquent,
[tex]\boxed{(BB'):y=-\dfrac{3}{4}x}[/tex]
c) Droite (CC')
L'équation de cette droite est de la forme : y = ax + b.
Recherche de a
[tex]a=\dfrac{y_{C'}-y_C}{x_{C'}-x_C}=\dfrac{\dfrac{5}{2}+2}{-\dfrac{3}{2}+1}=\dfrac{\dfrac{9}{2}}{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{9}{-1}\Longrightarrow\boxed{a=-9}[/tex]
L'équation de (CC') est donc de la forme : [tex]y=-9x+b[/tex]
Recherche de b
Le point C(-1;-2) appartient à la droite (CC').
Dans l'équation de (CC'), remplaçons x par (-1) et y par (-2)
[tex]-2=-9\times(-1)+b\\\\b=-2-9\\\\\boxed{b=-11}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{(CC'):y=-9x+11}[/tex]
b) Trouvez les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC.
Le centre du gravité du triangle ABC est le point d'intersection des trois médianes ou, plus simplement de deux d'entre elles.
Pour trouver les coordonnées de ce centre de gravité, résolvons le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\y=-9x-11 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\-\dfrac{3}{4}x=-9x-11 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\9x-\dfrac{3}{4}x=-11 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\\dfrac{36}{4}x-\dfrac{3}{4}x=-11 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\\dfrac{33}{4}x=-11 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\x=-11\times\dfrac{4}{33} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\x=-\dfrac{4}{3} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}\times(-\dfrac{4}{3})\\\\x=-\dfrac{4}{3} \end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=1\\\\x=-\dfrac{4}{3} \end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC sont [tex]\boxed{(-\dfrac{4}{3};1)}[/tex]
a) Donner une équation de chacune des médianes du triangle ABC.
Soit A' le milieu de [BC]
B' le milieu de [AC]
C' le milieu de [AB]
Alors déterminons les coordonnées de ces milieux.
[tex]A': (\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2})=(\dfrac{-4-1}{2};\dfrac{3-2}{2})=(\dfrac{-5}{2};\dfrac{1}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{A':(\dfrac{-5}{2};\dfrac{1}{2})}\\\\\\B': (\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2})=(\dfrac{1-1}{2};\dfrac{2-2}{2})=(0;0)\\\\\Longrightarrow\boxed{B':(0;0)}\\\\\\C': (\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})=(\dfrac{1-4}{2};\dfrac{2+3}{2})=(\dfrac{-3}{2};\dfrac{5}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{C':(\dfrac{-3}{2};\dfrac{5}{2})}[/tex]
a) Droite (AA')
L'équation de cette droite est de la forme : y = ax + b.
Recherche de a
[tex]a=\dfrac{y_{A'}-y_A}{x_{A'}-x_A}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2}{\dfrac{-5}{2}-1}=\dfrac{\dfrac{-3}{2}}{\dfrac{-7}{2}}=\dfrac{3}{7}\Longrightarrow\boxed{a=\dfrac{3}{7}}[/tex]
L'équation de (AA') est donc de la forme : [tex]y=\dfrac{3}{7}x+b[/tex]
Recherche de b
Le point A(1;2) appartient à la droite (AA').
Dans l'équation de (AA'), remplaçons x par 1 et y par 2
[tex]2=\dfrac{3}{7}\times1+b\\\\b=2-\dfrac{3}{7}\\\\\boxed{b=\dfrac{11}{7}}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{(AA'):y=\dfrac{3}{7}x+\dfrac{11}{7}}[/tex]
b) Droite (BB')
L'équation de cette droite est de la forme : y = ax + b.
Recherche de a
[tex]a=\dfrac{y_{B'}-y_B}{x_{B'}-x_B}=\dfrac{0-3}{0+4}=-\dfrac{3}{4}\Longrightarrow\boxed{a=-\dfrac{3}{4}}[/tex]
L'équation de (BB') est donc de la forme : [tex]y=-\dfrac{3}{4}x+b[/tex]
Recherche de b
Puisque la droite (BB') passe par le point (0;0), nous avons b = 0
Par conséquent,
[tex]\boxed{(BB'):y=-\dfrac{3}{4}x}[/tex]
c) Droite (CC')
L'équation de cette droite est de la forme : y = ax + b.
Recherche de a
[tex]a=\dfrac{y_{C'}-y_C}{x_{C'}-x_C}=\dfrac{\dfrac{5}{2}+2}{-\dfrac{3}{2}+1}=\dfrac{\dfrac{9}{2}}{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{9}{-1}\Longrightarrow\boxed{a=-9}[/tex]
L'équation de (CC') est donc de la forme : [tex]y=-9x+b[/tex]
Recherche de b
Le point C(-1;-2) appartient à la droite (CC').
Dans l'équation de (CC'), remplaçons x par (-1) et y par (-2)
[tex]-2=-9\times(-1)+b\\\\b=-2-9\\\\\boxed{b=-11}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{(CC'):y=-9x+11}[/tex]
b) Trouvez les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC.
Le centre du gravité du triangle ABC est le point d'intersection des trois médianes ou, plus simplement de deux d'entre elles.
Pour trouver les coordonnées de ce centre de gravité, résolvons le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\y=-9x-11 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\-\dfrac{3}{4}x=-9x-11 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\9x-\dfrac{3}{4}x=-11 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\\dfrac{36}{4}x-\dfrac{3}{4}x=-11 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\\dfrac{33}{4}x=-11 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\x=-11\times\dfrac{4}{33} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}x\\\\x=-\dfrac{4}{3} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{4}\times(-\dfrac{4}{3})\\\\x=-\dfrac{4}{3} \end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=1\\\\x=-\dfrac{4}{3} \end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC sont [tex]\boxed{(-\dfrac{4}{3};1)}[/tex]
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