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Kijchy
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bonsoir,
Soit (un)∈ℕ∗ une suite croissante ; soit (Vn)∈ℕ∗ la suite définie pour n ≥ 1 par :
Vn=.[tex] \frac{1}{n} [/tex]× ∑uk= (( 1 + 2 + 3 + ⋯ + )÷n)
.Démontrer que la suite (Vn)∈ℕ∗ est croissante.

merciii

Sagot :

Bonsoir ;

Je rectifie une erreur qui s'est glissée dans votre énoncé :

V(n)=(U(1)+..................+U(n))/n pour tout n de N* .

Pour commencer , la suite V(n) est la suite de Césaro de la suite U(n).

Calculons V(n+1) - V(n) :

Notons tout d'abord S la somme U(1)+..................+U(n) ,

donc V(n) = (U(1) + .............. + U(n))/n = S/n

et V(n+1) = (U(1) + .............. + U(n) + U(n+1))/(n+1) = (S + U(n+1))/(n+1) ,

donc V(n+1) - V(n) = (S + U(n+1))/(n+1) - S/n

= (nS + nU(n+1) - (n+1)S)/(n(n+1))

= (nU(n+1) - S)/(n(n+1)) : on utilisera que nU(n+1) = U(n+1) + ..+ U(n+1) n fois.

= (U(n+1) + ............ + U(n+1) - S)/(n(n+1))

= (U(n+1) + ............ + U(n+1) - U(1) - ....... - U(n))/(n(n+1))

= ((U(n+1) - U(1)) + ....... + (U(n+1) - U(n))/(n(n+1))

Puisque U(n) est croissante donc pour tout k de {1 ; ... ; n} : U(n+1) - U(k)≥0 ,

donc ((U(n+1) - U(1)) + ....... + (U(n+1) - U(n))/(n(n+1)) ≥ 0

donc V(n+1) - V(n) ≥ 0

donc V(n) est croissante .





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