Bonsoir ;
Partie I :
1) Voir la figure sur le fichier ci-joint .
2) On peut conjecturer que les points E , G et B sont alignés .
Partie II :
1) A(0;1) , B(1;1) , D(0;0) , E(-1;0) .
2) A' (-1/2 ; 0) , D ' (-1/2 ; 1/2) .
3)
a) Si y = ax + b l'équation de la droite (AA') alors on a :
a = (1 - 0)/(0 + 1/2) = 2 et l'ordonnée à l'origine de (AA') est : b = 1 ,
donc y = 2x + 1 .
b) Si y = ux l'équation de la droite (DD') qui passe par l'origine alors on a :
u = (1/2 - 0)/(-1/2 - 0) = -1 , donc y = -x .
c) Soit G(e;f) .
G est un point de la droite (AA') , donc : f = 2e + 1 ,
et G est un point de la droite (DD') , donc : f = -e ,
et comme f = 2e + 1 donc -e = 2e + 1 donc -3e = 1 donc e = -1/3 ,
donc f = 1/3 , donc G(-1/3 ; 1/3) .
4) Les coordonnées du vecteur EG sont : (-1/3+1 ; 1/3) donc (2/3 ; 1/3) .
Les coordonnées du vecteur EB sont : (1+1;1) donc (2;1) ,
donc (vecteur EG) = 1/3 (vecteur EB) ,
donc les droites (EG) et (EB) sont parallèles , et comme elles ont un point commun : E , donc elles sont confondus , donc les points E , G et B sont sur la même droite , donc ils sont alignés .
Partie III :
1)
a) vecteur AB = vecteur DC = vecteur ED .
b) vecteur AB = vecteur ED , dont le quadrilatère ABDE est parallélogramme .
2) [EB] et [AD] sont les diagonales de ABDE , donc ils se coupent en leur milieu .
3) I est le milieu de [AD] donc milieu de [EB] ,
donc I est un point de (EB) .
On a G centre de gravité du triangle EAD , donc G est un point de [EI] ,
donc un point de (EB) , donc les points G , E et B sont des points de (EB) ,
donc les points G , E et B sont alignés .
