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Puchiko
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Bonsoir,
J'ai besoin d'aide au sujet d'un exercice qui est le suivant :
On considère la figure ci-contre composée de trois disques. Le diamètre [AB]
du grand disque mesure 10 cm. Le point M est un point de segment [AB]. On note
x en cm la longueur MB.
On se pose la question suivante : où doit-on placer le point M sur [AB] pour que l'aire du disque de diamètre [AM] soit trois fois celle du disque MB] ?

J'ai trouver (MB) = MB = x
Son rayon est r = x/2 et son aire A = pi(x/2)^2
Soit l'aire de [AM] A = [tex] \pi (10-x/2)^2[/tex]

Pouvez-vous m'aider pour ce calcul svp ?

Sagot :

Bonjour  Puchiko

Remarque préalable : 

[tex]MB\ge0\Longrightarrow\boxed{x\ge0}\\\\AM\ge0\Longrightarrow\boxed{10-x\ge0}[/tex]

Aire du disque de diamètre [AM] = [tex]\pi\times(\dfrac{10-x}{2})^2[/tex] 

Aire du disque de diamètre [MB] = [tex]\pi\times(\dfrac{x}{2})^2[/tex] 

L''aire du disque de diamètre [AM] est trois fois celle du disque [MB] se traduira par l'équation 

[tex]\pi\times(\dfrac{10-x}{2})^2=3\times\pi\times(\dfrac{x}{2})^2\\\\\\(\dfrac{10-x}{2})^2=3\times(\dfrac{x}{2})^2\\\\\\\dfrac{(10-x)^2}{4}=3\times\dfrac{x^2}{4}\\\\\\\dfrac{(10-x)^2}{4}=\dfrac{3x^2}{4}\\\\\\(10-x)^2=3x^2\\\\10-x=\sqrt{3}x\ \ \ (car\ \ 10-x\ge0)\\\\\sqrt{3}x+x=10\\\\(\sqrt{3}+1)x=10\\\\\boxed{x=\dfrac{10}{\sqrt{3}+1}}[/tex]

Par conséquent, 

pour que l'aire du disque de diamètre [AM] soit trois fois celle du disque [MB] il faut placer M tel que [tex]\boxed{MB=\dfrac{10}{\sqrt{3}+1}\ cm\approx3,66\ cm}[/tex]
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