Bonjour,
1)a)
O(0;0) ∈ Cf ⇒ b(e⁰ + e⁻⁰) + c = 0 ⇔ 2b + c = 0 (1)
A(2;1) ∈ Cf ⇒ b(e² + e⁻²) + c = 1 (2)
b) (1) ⇔ c = -2b
⇒ (2) ⇔ b[(e² + e⁻²) - 2] = 1
⇒ b = 1/(e² + e⁻² - 2)
et donc c = -2/(e² + e⁻² - 2)
2) f(x) = (eˣ + e⁻ˣ - 2)/(e²+ e⁻² - 2)
f'(x) = (eˣ - e⁻ˣ)/(e² + e⁻² - 2)
b)
e² + e⁻² - 2 > 0
⇒ le signe de f'(x) est le signe de (eˣ - e⁻ˣ)
eˣ - e⁻ˣ = eˣ - 1/eˣ = [(eˣ)² - 1]/eˣ = (eˣ - 1)(eˣ + 1)/eˣ
eˣ - 1 s'annule pour x=0 et est positif sur ]0;2]
x 0 2
f'(x) 0 +
f(x) 0 croissante 1
c) f'(0) = 0 ⇒ tangente en O horizontale
d) f'(2) = (e² - 1)(e² + 1)/e² = 7,25 à 10⁻²près
