Bonjour
MrBalthy
1) Lorsque les points A et M coïncident, alors x = 0.
Lorsque les points B et M coïncident, alors x = 4.
Lorsque M est entre A et b, x est entre 0 et 4.
D'où [tex]\boxed{x\in[0;4]}[/tex]
2) A(0) est la valeur de A(x) lorsque x = 0.
Dans ce cas, les points A, M et I coïncident et la valeur de A(0) est égale à la moitié de l'aire du carré.
Puisque l'aire du carré est égale à 4*4 = 16 cm², nous en déduisons que A(0) = 16/2.
D'où [tex]\boxed{A(0)=8}[/tex]
A(4) est la valeur de A(x) lorsque x = 4.
Dans ce cas, les points B et M coïncident et la valeur de A(4) est également égale à la moitié de l'aire du carré.
Puisque l'aire du carré est égale à 4*4 = 16 cm², nous en déduisons que A(4) = 16/2.
D'où [tex]\boxed{A(4)=8}[/tex]
3) Voir figure en pièce jointe.
Si la droite passant par I, perpendiculaire à (AM) en E et perpendiculaire à (CD) en F.
Les droites (AC) et (DM) se coupent en I et (AM) est parallèle à (CD).
Par Thalès dans les triangles AIM et CID,
[tex]\dfrac{AM}{CD}=\dfrac{AI}{IC}=\dfrac{BI}{ID}=\dfrac{IE}{IF}\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{IE}{IF}=\dfrac{AM}{CD}\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{IE}{FE-IE}=\dfrac{AM}{CD}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{h}{4-h}=\dfrac{x}{4}}[/tex]
D'où, par le "produit en croix", nous avons :
[tex]4\times h=x\times(4-h)\\\\4h=4x-xh\\\\xh+4h=4x\\\\h(x+4)=4x\\\\\boxed{h=\dfrac{4x}{x+4}}[/tex]
[tex]4)\ Aire_{AMI}=\dfrac{AM\times IE}{2}\\\\Aire_{AMI}=\dfrac{x\times h}{2}\\\\Aire_{AMI}=\dfrac{x\times\dfrac{4x}{x+4}}{2}\\\\Aire_{AMI}=\dfrac{\dfrac{4x^2}{x+4}}{2}\\\\\\\boxed{Aire_{AMI}=\dfrac{2x^2}{x+4}}[/tex]
De plus,
[tex]Aire_{DIC}=\dfrac{DC\times IF}{2}\\\\Aire_{DIC}=\dfrac{4\times(4-h)}{2}\\\\Aire_{DIC}=2\times(4-h)\\\\Aire_{DIC}=2\times(4-\dfrac{4x}{x+4})\\\\Aire_{DIC}=2\times[\dfrac{4(x+4)-4x}{x+4}]\\\\Aire_{DIC}=2\times(\dfrac{4x+16-4x}{x+4})\\\\Aire_{DIC}=2\times(\dfrac{16}{x+4})\\\\\boxed{Aire_{DIC}=\dfrac{32}{x+4}}[/tex]
Par conséquent,
[tex]A(x)=Aire_{AMI}+Aire_{DIC}\\\\A(x)=\dfrac{2x^2}{x+4}+\dfrac{32}{x+4}\\\\\\A(x)=\dfrac{2x^2+32}{x+4}\\\\\\\boxed{A(x)=\dfrac{2(x^2+16)}{x+4}}[/tex]
5) Variations de A.
Etude du signe de la dérivée A'(x) sur [0 ; 4]
[tex]A'(x)=\dfrac{[2(x^2+16)]'\times(x+4)-2(x^2+16)\times(x+4)'}{(x+4)^2}\\\\A'(x)=\dfrac{4x\times(x+4)-2(x^2+16)\times1}{(x+4)^2}\\\\A'(x)=\dfrac{4x^2+16x-2x^2-32}{(x+4)^2}\\\\A'(x)=\dfrac{2x^2+16x-32}{(x+4)^2}\\\\A'(x)=\dfrac{2(x^2+8x-16)}{(x+4)^2}[/tex]
Puisque 2 > 0 et (x+4)² > 0, le signe de A'(x) sera le signe de x² + 8x - 16.
Racines de x² + 8x - 16 :
[tex]x^2+8x-16=0\\\\\Delta=8^2-4\times1\times(-16)=64+64=128\\\\x_1=\dfrac{-8-\sqrt{128}}{2}=\dfrac{-8-\sqrt{64\times2}}{2}=\dfrac{-8-8\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(-4-4\sqrt{2})}{2}\\\\\boxed{x_1=-4-4\sqrt{2}\approx-9,7}\\\\x_2=\dfrac{-8+\sqrt{128}}{2}=\dfrac{-8+\sqrt{64\times2}}{2}=\dfrac{-8+8\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(-4+4\sqrt{2})}{2}\\\\\boxed{x_2=-4+4\sqrt{2}\approx1,7}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&-4+4\sqrt{2}\approx1,7&&4\\&&&&&\\x^2+8x-16&&-&0&+&\\A'(x)&&-&0&+&\\A(x)&&\searrow&16(\sqrt{2}-1)\approx6,6&\nearrow&\\\end{array}[/tex]
Par conséquent, l'aire totale des deux triangles AMI et DIC sera minimale si le point M est tel que [tex]\boxed{AM=-4+4\sqrt{2}\ cm\approx1,7\ cm}[/tex]
