Bonsoir, je n'arrive pas les questions 2 et 3, J'AI BESOIN D'AIDE SVPP!! Merci d'avance

Question

01-02-2017
Mathématiques

Answered

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Bonsoir, je n'arrive pas les questions 2 et 3, J'AI BESOIN D'AIDE SVPP!! Merci d'avance

Sagot :

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Аноним Аноним · Answer 1 · 2017-02-01T22:03:51+01:00

Bonjour Alexialcrgl7

Question 1

[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AB\times AF\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AE\times AC\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})\ \ (car\ AB=AE\ et\ AF=AC)\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AC\times AE\times\cos((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})+(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF}))[/tex]

[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AC\times AE\times\cos(-\dfrac{\pi}{2}+(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF}))\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AC\times AE\times\cos(\dfrac{\pi}{2}-(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF}))\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AC\times AE\times\cos(\dfrac{\pi}{2}+(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AE}))[/tex]

[tex]\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AC\times AE\times\cos((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AF})+(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AE}))\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AC\times AE\times\cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE})\\\\\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}}[/tex]

Question 2

[tex]\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}\\\\\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI} \end{matrix}\right.\Longrightarrow \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AI}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI})\\\\\\2\overrightarrow{AI}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{CI})[/tex]

[tex]2\overrightarrow{AI}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{0}\\\\2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\\\\\boxed{\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})}[/tex]

Question 3.

Nous allons utiliser les résultats des deux premières questions.

[tex]\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})}.\overrightarrow{EF}\\\\\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})}.(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF})\\\\\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AF})[/tex]

Or

[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{EA}\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{EA}=0[/tex]

D'où

[tex]\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EA}+0+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AF})\\\\\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AF})[/tex]

De plus

[tex](\overrightarrow{AB},\overrightarrow{EA})=\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EA}=0\\\\(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AF})=\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AF}=0[/tex]

Par conséquent,

[tex]\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}(0+0)\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=0}[/tex]

Nous en déduisons que les droites (AI) et (EF) sont perpendiculaires et concluons que la médiane (AI) du triangle ABC est la hauteur du triangle AEF issue du sommet A.

Sagot :

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