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Sagot :
Bonjour
LaPetiteMatheuse
A 9 h, le nombre de personnes au courant est [tex]u_0=1[/tex]
10 min plus tard que 9 h, le nombre de nouvelles personnes au courant est [tex]u_1=3[/tex]
20 min plus tard que 9 h, le nombre de nouvelles personnes au courant est [tex]u_2=3\times3=3^2[/tex].
30 min plus tard que 9 h, le nombre de nouvelles personnes au courant est [tex]u_3=3\times3^2=3^3[/tex].
Donc n x 10 min plus tard que 9 h, le nombre de nouvelles personnes au courant est [tex]u_n=3^n[/tex].
La suite (Un) est donc une suite géométrique de raison 3 dont le premier terme est [tex]u_0=1[/tex]
Le nombre total de personnes au courant de la nouvelle après n x 10 min est égal à la somme [tex]S = u_0+u_1+u_2+...+u_n[/tex]
En appliquant la formule donnant la somme de (n+1) termes d'une suite géométrique, nous obtenons :
[tex]S=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\\\\\\S=1\times\dfrac{1-3^{n+1}}{1-3}\\\\\\S=\dfrac{1-3^{n+1}}{-2}\\\\\\S=\dfrac{3^{n+1}-1}{2}[/tex]
Pour connaître à quelle heure toute la ville sera au courant, il faut déterminer le nombre n de fois 10 min après 9 h en résolvant l'inéquation :
[tex]\dfrac{3^{n+1}-1}{2}\ge1\ 200\ 000\\\\\\3^{n+1}-1\ge2\times1\ 200\ 000\\\\3^{n+1}-1\ge2\ 400\ 000\\\\3^{n+1}\ge2\ 400\ 001\\\\\ln(3^{n+1})\ge\ln(2\ 400\ 001)\\\\(n+1)\times\ln(3)\ge\ln(2\ 400\ 001)\\\\n+1\ge\dfrac{\ln(2\ 400\ 001)}{\ln(3)}\\\\n+1\ge13,37\\\\\boxed{n\ge12,37}[/tex]
Donc toute la ville sera au courant 13 x 10 min après 9 h, soit 130 min après 9h.
Or 130 min = 120 min + 10 min = 2h 10min.
Par conséquent, toute la ville sera au courant à partir de 11h 10min.
Remarque :
Si la notion de logarithme népérien n'a pas encore été vue, nous pourrions obtenir cette réponse par un tableur.
Nous devrions trouver (n+1) tel que [tex]3^{n+1}\ge2\ 400\ 001[/tex]
Or
[tex]3^{13}=1\ 594\ 323\ \textless \ 2\ 400\ 001\ \ et\ \ 3^{14}=4\ 782\ 969\ \textgreater \ 2\ 400\ 001[/tex]
Nous aurions alors : n+1 = 14 ==> n = 13.
La suite de la réponse devient alors identique à la réponse trouvée grâce aux logarithmes.
A 9 h, le nombre de personnes au courant est [tex]u_0=1[/tex]
10 min plus tard que 9 h, le nombre de nouvelles personnes au courant est [tex]u_1=3[/tex]
20 min plus tard que 9 h, le nombre de nouvelles personnes au courant est [tex]u_2=3\times3=3^2[/tex].
30 min plus tard que 9 h, le nombre de nouvelles personnes au courant est [tex]u_3=3\times3^2=3^3[/tex].
Donc n x 10 min plus tard que 9 h, le nombre de nouvelles personnes au courant est [tex]u_n=3^n[/tex].
La suite (Un) est donc une suite géométrique de raison 3 dont le premier terme est [tex]u_0=1[/tex]
Le nombre total de personnes au courant de la nouvelle après n x 10 min est égal à la somme [tex]S = u_0+u_1+u_2+...+u_n[/tex]
En appliquant la formule donnant la somme de (n+1) termes d'une suite géométrique, nous obtenons :
[tex]S=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\\\\\\S=1\times\dfrac{1-3^{n+1}}{1-3}\\\\\\S=\dfrac{1-3^{n+1}}{-2}\\\\\\S=\dfrac{3^{n+1}-1}{2}[/tex]
Pour connaître à quelle heure toute la ville sera au courant, il faut déterminer le nombre n de fois 10 min après 9 h en résolvant l'inéquation :
[tex]\dfrac{3^{n+1}-1}{2}\ge1\ 200\ 000\\\\\\3^{n+1}-1\ge2\times1\ 200\ 000\\\\3^{n+1}-1\ge2\ 400\ 000\\\\3^{n+1}\ge2\ 400\ 001\\\\\ln(3^{n+1})\ge\ln(2\ 400\ 001)\\\\(n+1)\times\ln(3)\ge\ln(2\ 400\ 001)\\\\n+1\ge\dfrac{\ln(2\ 400\ 001)}{\ln(3)}\\\\n+1\ge13,37\\\\\boxed{n\ge12,37}[/tex]
Donc toute la ville sera au courant 13 x 10 min après 9 h, soit 130 min après 9h.
Or 130 min = 120 min + 10 min = 2h 10min.
Par conséquent, toute la ville sera au courant à partir de 11h 10min.
Remarque :
Si la notion de logarithme népérien n'a pas encore été vue, nous pourrions obtenir cette réponse par un tableur.
Nous devrions trouver (n+1) tel que [tex]3^{n+1}\ge2\ 400\ 001[/tex]
Or
[tex]3^{13}=1\ 594\ 323\ \textless \ 2\ 400\ 001\ \ et\ \ 3^{14}=4\ 782\ 969\ \textgreater \ 2\ 400\ 001[/tex]
Nous aurions alors : n+1 = 14 ==> n = 13.
La suite de la réponse devient alors identique à la réponse trouvée grâce aux logarithmes.
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