bonjour
f(x)=(x+1)² × (x+1)²
on utilise la formule
u'v + uv'
il y a une autre façon, mais je te donne la méthode qui me semble le plus facile en 1ère.
on pose
u = (x+1)² = x²+2x +1
v = (x+1)²= x²+2x+1
u' = 2x+2
v' = 2x+2
(2x+2 ) × (x²+2x+1) + (x²+2x+1) × (2x+2)
=( 2x³+6x²+6x+2)+( 2x³+6x²+6x+2)
=4x³+12x²+12x+4
b)
équation de la tangente en x= 1
f(1) = (1+x)^4 = 2^4 = 16
f'(1) = 32
Yt = f(xo) + f'(xo)(x-xo)
yt = 16 +32 (x -1)
= 16+32x -32
yt =32x -16
2)
g(x) = (1+x)^4 -32x +16
g'(x) = (4x³+12x²+12x+4) -32
= 4x³+12x²+12x-28
la dérivée de g est un polynôme dérivable sur R
donc g est dérivable sur R
on peut poser :
4x³+12x²+12x-28 = 4(x-1)(ax² +bx+c)
on développe le second membre
=4ax³-4ax²+4bx²-4bx +4cx -4c
=4ax³+ (-4a+4b)x²+( -4b +4c) x - 4c
=4x³+12x²+12x-28
par identification
a = 1
-4a +4b = 12 => 4b = 12+4 = 16 => b = 4
-4c=-28 => c = 7
d'où g(x) = = 4(x-1)(x² +4x+7)
b)
sens de variation de g
signe de x²+4x+7
Δ = -12
donc toujours > 0
x-1>0 => x>1
signe de g'(x)
g'(x) > 0 si x> 1
donc g décroissante de ]-∞;1]
g croissante de ]1;+∞]
c)
g(x) correspond à la différence de la fonction f et de la tangente en xo=1
g(x) = f(x) - yt
donc si g(x) ≥0
la courbe de f est au dessus de la tangente et réciproquement.
comme le minimum de g(x) = 1
g(x) est toujours positive , g(x) toujours ≥ Yt
(1+x)^4 - 3x +16 toujours ≥0
la courbe est toujours au dessus de la tangente
( point de tangence x=1)
