Bonjour
Usainbolt
Exercice 3
a) Arbre pondéré en pièce jointe.
b) A : On obtient exactement deux fois "pile".
[tex]P(A)=0,6\times0,6\times0,4+0,6\times0,4\times0,6+0,4\times0,6\times0,6\\\\P(A)=3\times(0,6)^2\times0,4\\\\\boxed{P(A)=0,432}[/tex]
B : On obtient au moins une fois "face"
L'événement contraire de B est [tex]\overline{B}:[/tex] On obtient 0 fois "face", soit : on obtint 3 fois "pile"
[tex]P(B)=1-P(\overline{B})=1-(0,4)^3=1-0,064=0,936\\\\\Longrightarrow\boxed{P(B)=0,936}[/tex]
3) La variable aléatoire N peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3.
Loi de probabilité de N :
[tex]P(N=0)=(0,4)^3=0,064\\P(N=1)=3\times0,6\times0,4^2=0,288\\P(N=2)=3\times(0,6)^2\times0,4=0,432\\P(N=3)=0,6^3=0,216[/tex]
Espérance et écart-type de N
[tex]E(N)=3\times0,6=1,8\Longrightarrow\boxed{E(N)=1,8}\\\\V(N)=3\times0,6\times0,4=0,72\Longrightarrow\boxed{\sigma(N)=\sqrt{0,72}\approx0,85}[/tex]
4) a) La variable aléatoire X peut prendre les valeurs -3, 0, 3 ou 6
Loi de probabilité de N
[tex]P(X=-3)=P(N=0)=0,064\\P(X=0)=P(N=1)=0,288\\P(X=3)=P(N=2)=0,432\\P(X=6)=P(N=3)=0,216[/tex]
b) Si N est le nombre de "pile", alors le nombre de "face" est 3-N
D'où
[tex]X=2\times N-1\times(3-N)\\\\X=2N-3+N\\\\\boxed{X=3N-3}[/tex]
[tex]P(E)=P(X=0)=0,288\Longrightarrow\boxed{P(E)=0,288}\\\\P(F)=P(X\ge1)=P(X=3\ ou\ X=6)\\\\P(F)=P(X=3)+P(X=6)=0,432+0,216=0,648\\\\\Longrightarrow\boxed{P(F)=0,648}[/tex]
[tex]c)\ E(X)=E(3N-3)=3E(N)-3=3\times1,8-3=2,4\\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=2,4}[/tex]
Par conséquent, à long terme, l'espérance moyenne de X vas tendre vers 2,4.
[tex]d)\ V(X)=V(3N-3)=3^2\times V(N)=9\times0,72=6,48\Longrightarrow\boxed{V(X)=6,48}\\\\\\\boxed{\sigma(N)=\sqrt{6,48}\approx2,55}[/tex]
