Sagot :
Bonjour
Carolinaaaaa,
1) Calculer le nombre d'habitants dans chacune des zones en 2011, puis en 2012.
Nous savons que [tex]u_0=40[/tex] et [tex]v_0=20[/tex]
En 2011, 20% des ruraux quittent le pays ==> il en reste 80 %, soit [tex]0,8u_0[/tex].
Il arrive 10% de citadins, soit [tex]0,1v_0[/tex]
D'où,
[tex]u_1=0,8u_0+0,1v_0=0,8\times40+0,1\times20=34[/tex]
De même,
10% des citadins quittent le pays ==> il en reste 90 %, soit [tex]0,9v_0[/tex].
Il arrive 20% de ruraux, soit [tex]0,2u_0[/tex]
D'où,
[tex]v_1=0,9v_0+0,2u_0=0,9\times20+0,2\times40=26[/tex]
Par conséquent, en 2011, il y aura 34 millions de ruraux et 26 millions de citadins.
Un raisonnement analogue nous donne :
[tex]u_2=0,8u_1+0,1v_1=0,8\times34+0,1\times26=29,8\\\\v_2=0,9v_1+0,2u_1=0,9\times26+0,2\times34=30,2[/tex]
Par conséquent, en 2012, il y aura 29,8 millions de ruraux et 30,2 millions de citadins.
2) En utilisant le même raisonnement que dans la question 1), nous obtenons :
[tex]\boxed{u_{n+1}=0,8u_n+0,1v_n}\\\\\boxed{v_{n+1}=0,9v_n+0,2u_n}[/tex]
3) Algorithme.
Variables : u, v, a, b, n : nombre réels
Début algorithme
u = 40
v = 20
Lire n
Pour i allant de 1 à n
Début Pour
Affecter à a la valeur 0.8*u + 0.1*v
Affecter à b la valeur 0.9*v + 0.2*u
Affecter à u la valeur a
Affecter à v la valeur b
Fin Pour
Afficher u
Afficher v
4) A long terme, la valeur de u se rapproche de 20 et la valeur de v se rapproche de 40.
Donc, à long terme, la population rurale se stabilisera aux alentours de 20 millions et la population citadine se stabilisera aux alentours de 40 millions.
5) [tex]\boxed{u_n+v_n=60}[/tex] car la population est constamment égale à 60 millions d'habitants.
[tex]u_n+v_n=60\Longrightarrow\boxed{v_n=60-u_n}[/tex]
[tex]u_{n+1}=0,8u_n+0,1v_n\\\\u_{n+1}=0,8u_n+0,1(60-u_n)\\\\u_{n+1}=0,8u_n+0,1\times60-0,1u_n\\\\\boxed{u_{n+1}=0,7u_n+6}[/tex]
[tex]6)\ a_n=u_n-20[/tex]
Montrons que la suite (an) est géométrique.
[tex]a_{n+1}=u_{n+1}-20\\\\a_{n+1}=(0,7u_{n}+6)-20\\\\a_{n+1}=0,7u_{n}-14\\\\a_{n+1}=0,7u_{n}-0,7\times20\\\\a_{n+1}=0,7(u_{n}-20)\\\\\boxed{a_{n+1}=0,7\times a_n}[/tex]
Par conséquent, la suite [tex](a_n)[/tex] est une suite géométrique dont la raison est 0,7 et dont le premier terme est [tex]a_0=u_0-20=40-20=20[/tex]
[tex]7)\ a_n=a_0\times(0,7)^n\\\\\boxed{a_n=20\times(0,7)^n}\\\\u_n=a_n+20\\\\\boxed{u_n=20\times(0,7)^n+20}[/tex]
1) Calculer le nombre d'habitants dans chacune des zones en 2011, puis en 2012.
Nous savons que [tex]u_0=40[/tex] et [tex]v_0=20[/tex]
En 2011, 20% des ruraux quittent le pays ==> il en reste 80 %, soit [tex]0,8u_0[/tex].
Il arrive 10% de citadins, soit [tex]0,1v_0[/tex]
D'où,
[tex]u_1=0,8u_0+0,1v_0=0,8\times40+0,1\times20=34[/tex]
De même,
10% des citadins quittent le pays ==> il en reste 90 %, soit [tex]0,9v_0[/tex].
Il arrive 20% de ruraux, soit [tex]0,2u_0[/tex]
D'où,
[tex]v_1=0,9v_0+0,2u_0=0,9\times20+0,2\times40=26[/tex]
Par conséquent, en 2011, il y aura 34 millions de ruraux et 26 millions de citadins.
Un raisonnement analogue nous donne :
[tex]u_2=0,8u_1+0,1v_1=0,8\times34+0,1\times26=29,8\\\\v_2=0,9v_1+0,2u_1=0,9\times26+0,2\times34=30,2[/tex]
Par conséquent, en 2012, il y aura 29,8 millions de ruraux et 30,2 millions de citadins.
2) En utilisant le même raisonnement que dans la question 1), nous obtenons :
[tex]\boxed{u_{n+1}=0,8u_n+0,1v_n}\\\\\boxed{v_{n+1}=0,9v_n+0,2u_n}[/tex]
3) Algorithme.
Variables : u, v, a, b, n : nombre réels
Début algorithme
u = 40
v = 20
Lire n
Pour i allant de 1 à n
Début Pour
Affecter à a la valeur 0.8*u + 0.1*v
Affecter à b la valeur 0.9*v + 0.2*u
Affecter à u la valeur a
Affecter à v la valeur b
Fin Pour
Afficher u
Afficher v
4) A long terme, la valeur de u se rapproche de 20 et la valeur de v se rapproche de 40.
Donc, à long terme, la population rurale se stabilisera aux alentours de 20 millions et la population citadine se stabilisera aux alentours de 40 millions.
5) [tex]\boxed{u_n+v_n=60}[/tex] car la population est constamment égale à 60 millions d'habitants.
[tex]u_n+v_n=60\Longrightarrow\boxed{v_n=60-u_n}[/tex]
[tex]u_{n+1}=0,8u_n+0,1v_n\\\\u_{n+1}=0,8u_n+0,1(60-u_n)\\\\u_{n+1}=0,8u_n+0,1\times60-0,1u_n\\\\\boxed{u_{n+1}=0,7u_n+6}[/tex]
[tex]6)\ a_n=u_n-20[/tex]
Montrons que la suite (an) est géométrique.
[tex]a_{n+1}=u_{n+1}-20\\\\a_{n+1}=(0,7u_{n}+6)-20\\\\a_{n+1}=0,7u_{n}-14\\\\a_{n+1}=0,7u_{n}-0,7\times20\\\\a_{n+1}=0,7(u_{n}-20)\\\\\boxed{a_{n+1}=0,7\times a_n}[/tex]
Par conséquent, la suite [tex](a_n)[/tex] est une suite géométrique dont la raison est 0,7 et dont le premier terme est [tex]a_0=u_0-20=40-20=20[/tex]
[tex]7)\ a_n=a_0\times(0,7)^n\\\\\boxed{a_n=20\times(0,7)^n}\\\\u_n=a_n+20\\\\\boxed{u_n=20\times(0,7)^n+20}[/tex]
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