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Natiana
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bonjour aider moi svp
l'énoncer : le directeur d'une salle de spectacle a remarqué qu'à 20€ la place. il pouvait compter sur 500 spectateurs.et que chaque baisse de 1.50€ lui amenait 100 personnes de plus.
a) Déterminer de spectateurs ainsi que la recette s'il baisse le prix de chaque place de 4.50€ .
b) On note x le nombre de baisses de 1.50€ que le directeur consent à effectuer sur le prix de chaque place.
→ Exprimer en fonction de x le prix noté p(x) d'une place après ces x baisses de 1.50€ .
→ Exprimer en fonction de x le nombre de personnes attendues après ces x baisses de 1.50€ .
En déduire l'expression noté f(x) de la recette qu'il effectuera suite à cette stratégie commerciale .
c) Combien doit il faire payer la place pour obtenir une recette maximale? Détailler votre raisonnement .

merci a ceux qui voudrons m'aider

Sagot :

Bonjour,  

1) S'il baisse le prix de  4.5, le prix de la place coûte  :  20-4.5 = 15.5  

Pour chaque baisse de  1.5, on a  100 spectateurs en plus.  

Comme  4.5/1.5 = 3 , on aura  3*100 spectateurs en plus, soit :  500+ 300 = 800 

La recette est donc 800 * 15.5 = 12 400 

B)  Soit  x  le nombre de baisse : 

P(x) = 20-1.5X  qu'on préféra écrire  :  -1.5X +20 

on sait qu'on a  500 spectateurs pour  20 euros et que chaque baisse en attire 100 de plus .  Appelons  S(x) le nombre de spectateurs qui viennent à chaque baisse : 
 
Donc  S (x) =  100x+500  

f(x) est  le montante de la recette.  La recette  = nombre de spectateurs * prix du billets, soit  ici : 

f(x) = S(x) * P(x) 

f(x) = (100x+500)  ( -1.5X +20)  
f(x) =  -150x²+2000x -750x +10 000 
f(x) =  -150x² + 1250 x +10 000 


C)  f(x) est un polynôme du second degrés qui s'écrit :  ax²+bx+C 
 f(x) est maximum pour le sommet de cette courbe, qui a pour  sommet  : 

Sommet  (  -b/2a ; f(-b/2a ) ) 

ici :  b = 1250  donc  -b = -1250 

et a = -150 donc  2a = -300 

L'abscisse est  donc  :   -1250/ -300 =  125/30  


l'ordonnée est donc :   f(125/30) = -150 (125/30)² +1250 (125/30) +10 000  
                                                     ≈ 12 604 .16 

La recette maximal est  d'environ 12 604. 16 euros 

vérifions 

Soit  125/30 la baisse maxima maximiser le profit.  

Le prix est donc  :   - 1.5 (125/30) +20 
                            :   -6.25 +20 
                           :    13.75 

Le meilleur prix est donc  13.75 euros 

à ce prix on aura dans la salle  :   100 (125/30) +500 ≈ 916 personnes 

9.16* 13.75 =  12 595 


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