Bonjour
Michonne15
Lorsqu'on tire une boule, on la remet dans le sac.
Donc, la probabilité d'une couleur ne change pas au cours de 3 tirages successifs.
Donc,
[tex]P(V)=\dfrac{3}{10}\\\\P(N)=\dfrac{2}{10}\\\\P(J)=\dfrac{5}{10}[/tex]
[tex]1)\ a)\ P(NNN)=\dfrac{2}{10}\times\dfrac{2}{10}\times\dfrac{2}{10}=(\dfrac{2}{10})^3=\dfrac{8}{1000}\\\\\Longrightarrow\boxed{P(A)=\dfrac{8}{1000}=0,008}\\\\\\b)\ P(VNJ)=\dfrac{3}{10}\times\dfrac{2}{10}\times\dfrac{5}{10}=\dfrac{30}{1000}=\dfrac{3}{100}\\\\\Longrightarrow\boxed{P(B)=\dfrac{3}{100}=0,03}[/tex]
2) La variable aléatoire X peut prendre les valeurs 1, 2 ou 3.
[tex]P(X=1)=P(VVV)+P(NNN)+P(JJJ)\\\\\\P(X=1)=\dfrac{3}{10}\times\dfrac{3}{10}\times\dfrac{3}{10}+\dfrac{2}{10}\times\dfrac{2}{10}\times\dfrac{2}{10}+\dfrac{5}{10}\times\dfrac{5}{10}\times\dfrac{5}{10}\\\\\\P(X=1)=(\dfrac{3}{10})^3+(\dfrac{2}{10})^3+(\dfrac{5}{10})^3\\\\\\P(X=1)=\dfrac{27}{1000}+\dfrac{8}{1000}+\dfrac{125}{1000}=\dfrac{160}{1000}=\dfrac{16}{100}\\\\\\\boxed{P(X=1)=\dfrac{16}{100}=0,16}[/tex]
Lorsque X=2, plusieurs cas sont possibles :
* une noire et deux vertes
* une noire et deux jaunes
* une verte et deux noires
* une verte et deux jaunes
* une jaune et deux noires
* une jaune et deux vertes
Dans chacun de ces cas, la couleur unique peut prendre trois positions.
Par exemple , dans le cas "une noire et deux vertes", nous pouvons avoir (NVV) , (VNV) (VVN)
Idem pour les autres cas.
D'où
[tex]P(X=2)=3\times[\dfrac{2}{10}\times(\dfrac{3}{10})^2+\dfrac{2}{10}\times(\dfrac{5}{10})^2+\dfrac{3}{10}\times(\dfrac{2}{10})^2+\dfrac{3}{10}\times(\dfrac{5}{10})^2\\\\+\dfrac{5}{10}\times(\dfrac{2}{10})^2+\dfrac{5}{10}\times(\dfrac{3}{10})^2]\\\\\\\\P(X=2)=3\times[\dfrac{18}{1000}+\dfrac{50}{1000}+\dfrac{12}{1000}+\dfrac{75}{1000}+\dfrac{20}{1000}+\dfrac{45}{1000}]\\\\\\\\P(X=2)=3\times\dfrac{220}{1000}=\dfrac{660}{1000}=\dfrac{66}{100}\\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=2)=\dfrac{66}{100}=0,66}[/tex]
Lorsque X=3, chaque couleur est représentée une seule fois.
==> (VNJ), (VJN), (NJV), (NVJ), (JVN), (JNV)
D'où
[tex]P(X=3)=6\times\dfrac{3}{10}\times\dfrac{2}{10}\times\dfrac{5}{10}\\\\\\P(X=3)=\dfrac{180}{1000}=\dfrac{18}{100}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=3)=\dfrac{18}{100}=0,18}[/tex]
Par conséquent, voici un tableau représentant la loi de probabilité X :
[tex]\boxed{\begin{array}{c|c|c|c} x_i&1&2&3\\P(X=x_i)&0,16&0,66&0,18\\ \end{array}}[/tex]
