Bonjour
Nous devons déterminer le point de la trajectoire tel que la tangente à cette trajectoire passe par le point de coordonnées (3,0)
La courbe représente une fonction f définie par [tex]f(x)=1+\dfrac{1}{x}[/tex]
Soit (a ; f(a)) les coordonnées du point de tangence.
Alors l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a est de la forme : [tex]\boxed{y=f'(a)(x-a)+f(a)}[/tex]
Or
[tex]f(x)=1+\dfrac{1}{x}\Longrightarrow\boxed{f(a)=1+\dfrac{1}{a}}\\\\\\f(x)=1+\dfrac{1}{x}\Longrightarrow f'(x)=0-\dfrac{1}{x^2}\Longrightarrow f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\Longrightarrow\boxed{f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}}[/tex]
D'où, l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a est
[tex]y=-\dfrac{1}{a^2}(x-a)+1+\dfrac{1}{a}\\\\y=-\dfrac{1}{a^2}\times x-\dfrac{1}{a^2}\times(-a)+1+\dfrac{1}{a}\\\\y=-\dfrac{1}{a^2}\times x+\dfrac{1}{a}+1+\dfrac{1}{a}\\\\\boxed{y=-\dfrac{1}{a^2}\times x+\dfrac{2}{a}+1}[/tex]
Si le point (3 ; 0) doit appartenir à cette tangente, alors nous pouvons remplacer x par 3 et y par 0 dans cette équation.
D'où
[tex]0=-\dfrac{1}{a^2}\times3+\dfrac{2}{a}+1\\\\0=-\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{2}{a}+1\\\\0=-\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{2a}{a^2}+\dfrac{a^2}{a^2}\\\\0=\dfrac{-3+2a+a^2}{a^2}\\\\a^2+2a-3=0\\\\\Delta=2^2-4\times1\times(-3)=4+12=16\\\\a_1=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=\dfrac{-2-4}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3\\\\a_2=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=\dfrac{-2+4}{2}=\dfrac{2}{2}=1[/tex]
Nous ne retiendrons que la valeur positive de a.
Donc
[tex]\boxed{a=1}\\\\f(a)=1+\dfrac{1}{a}=1+\dfrac{1}{1}=1+1=2\Longrightarrow\boxed{f(a)=2}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point cherché P sont [tex]\boxed{(1;2)}[/tex]
