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Sagot :
Bonjour ;
1. a. Recopier et compléter l'égalité :
N = 100 x c + 10 x d + u .
b. Démontrer les critères de divisibilité par 2, par 5 et par 10.
Critère de divisibilité par 2 :
On a : N = 100 c + 10 d + u = 2 x 50 c + 2 x 5 d + u = 2(50 c + 5 d) + u .
Supposons que N est divisible par 2 , donc 2(50 c + 5 d) + u est divisible par 2
donc u est divisible par 2 donc u est soit 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8 .
Supposons maintenant que u est soit 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8 , donc N est la somme de deux nombres pairs , donc il est pair et divisible par 2 ,
donc N est divisible par 2 si et seulement si u est un chiffre pair .
Critère de divisibilité par 5 :
N = 100 c + 10 d + u = 5 x 20 c + 5 x 2 d + u = 5(20 c + 2 d) + u .
Supposons que N est divisible par 5 , donc 5(20 c + 2 d) + u est divisible par 5
donc u est divisible par 5 donc u est soit 0 ou 5 .
Supposons maintenant que u est soit 0 ou 5 , donc N est la somme de deux nombres divisibles par 5 , donc il est divisible par 5 ,
donc N est divisible par 5 si et seulement si u est soit 0 soit 5 .
Critère de divisibilité par 10 :
N = 100 c + 10 d + u = 10(10 c + d) + u .
Supposons que N est divisible par 10 , donc 10(10 c + d) + u est divisible par 10 donc u est divisible par 10 donc u qui est un chiffre et inférieur strictement à 10 ne peu être que : 0 .
Supposons maintenant que u = 0 , donc N = 10(10 c + d) , donc il est divisible par 10 ,
donc N est divisible par 10 si et seulement si u = 0 .
2. a. Recopier et compléter l'égalité :
N = (99 + 1 ) c + (9 + 1) d + u .
b. Démontrer les critères de divisibilité par 3 et 9.
Critère de divisibilité par 3 :
N = (99 + 1 ) c + (9 + 1) d + u = 99 c + c + 9 d + d + u
= 3(33 c + 3 d) + c + d + u .
Supposons N divisible par 3 donc c + d + u est divisible par 3 .
Supposons c + d + u est divisible par 3 alors N est la somme de deux nombres divisibles par 3 , donc N est divisible par 3 ,
donc N est divisible par 3 si et seulement si c + d + u est divisible par 3 .
Critère de divisibilité par 9 :
N = (99 + 1 ) c + (9 + 1) d + u = 99 c + c + 9 d + d + u
= 9(11 c + d) + c + d + u .
Supposons N divisible par 9 donc c + d + u est divisible par 9 .
Supposons c + d + u est divisible par 9 alors N est la somme de deux nombres divisibles par 9 , donc N est divisible par 9 ,
donc N est divisible par 9 si et seulement si c + d + u est divisible par 9 .
1. a. Recopier et compléter l'égalité :
N = 100 x c + 10 x d + u .
b. Démontrer les critères de divisibilité par 2, par 5 et par 10.
Critère de divisibilité par 2 :
On a : N = 100 c + 10 d + u = 2 x 50 c + 2 x 5 d + u = 2(50 c + 5 d) + u .
Supposons que N est divisible par 2 , donc 2(50 c + 5 d) + u est divisible par 2
donc u est divisible par 2 donc u est soit 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8 .
Supposons maintenant que u est soit 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8 , donc N est la somme de deux nombres pairs , donc il est pair et divisible par 2 ,
donc N est divisible par 2 si et seulement si u est un chiffre pair .
Critère de divisibilité par 5 :
N = 100 c + 10 d + u = 5 x 20 c + 5 x 2 d + u = 5(20 c + 2 d) + u .
Supposons que N est divisible par 5 , donc 5(20 c + 2 d) + u est divisible par 5
donc u est divisible par 5 donc u est soit 0 ou 5 .
Supposons maintenant que u est soit 0 ou 5 , donc N est la somme de deux nombres divisibles par 5 , donc il est divisible par 5 ,
donc N est divisible par 5 si et seulement si u est soit 0 soit 5 .
Critère de divisibilité par 10 :
N = 100 c + 10 d + u = 10(10 c + d) + u .
Supposons que N est divisible par 10 , donc 10(10 c + d) + u est divisible par 10 donc u est divisible par 10 donc u qui est un chiffre et inférieur strictement à 10 ne peu être que : 0 .
Supposons maintenant que u = 0 , donc N = 10(10 c + d) , donc il est divisible par 10 ,
donc N est divisible par 10 si et seulement si u = 0 .
2. a. Recopier et compléter l'égalité :
N = (99 + 1 ) c + (9 + 1) d + u .
b. Démontrer les critères de divisibilité par 3 et 9.
Critère de divisibilité par 3 :
N = (99 + 1 ) c + (9 + 1) d + u = 99 c + c + 9 d + d + u
= 3(33 c + 3 d) + c + d + u .
Supposons N divisible par 3 donc c + d + u est divisible par 3 .
Supposons c + d + u est divisible par 3 alors N est la somme de deux nombres divisibles par 3 , donc N est divisible par 3 ,
donc N est divisible par 3 si et seulement si c + d + u est divisible par 3 .
Critère de divisibilité par 9 :
N = (99 + 1 ) c + (9 + 1) d + u = 99 c + c + 9 d + d + u
= 9(11 c + d) + c + d + u .
Supposons N divisible par 9 donc c + d + u est divisible par 9 .
Supposons c + d + u est divisible par 9 alors N est la somme de deux nombres divisibles par 9 , donc N est divisible par 9 ,
donc N est divisible par 9 si et seulement si c + d + u est divisible par 9 .
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