Sagot :
Bonjour
Duorra84
Soit le repère orthonormé (A, I, J) tel que B appartient à la demi droite [AI).
Déterminons les coordonnées des points C et D dans ce repère.
L'abscisse du point C est [tex]AC\times\cos(\dfrac{\pi}{4})=1000\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\boxed{500\sqrt{2}}[/tex] et l'ordonnée du point C est [tex]AC\times\sin(\dfrac{\pi}{4})=1000\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\boxed{500\sqrt{2}}[/tex]
D'où les coordonnées du point C sont [tex]\boxed{C(500\sqrt{2}\ ;500\sqrt{2})}[/tex]
L'abscisse du point D est :
[tex]AD\times\cos(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})}=3000\times\cos(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2\pi}{3})=3000\times\cos(\dfrac{11\pi}{12})\\\\=-3000\times\cos(\dfrac{\pi}{12})=-3000\times(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})=\boxed{-750(\sqrt{6}+\sqrt{2})}[/tex]
L'ordonnée du point D est :
[tex]AD\times\sin(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})}=3000\times\sin(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2\pi}{3})=3000\times\sin(\dfrac{11\pi}{12})\\\\=3000\times\sin(\dfrac{\pi}{12})=3000\times(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})=\boxed{750(\sqrt{6}-\sqrt{2})}[/tex]
D'où les coordonnées du point D sont [tex]\boxed{D:(-750(\sqrt{6}+\sqrt{2})\ ;\ 750(\sqrt{6}-\sqrt{2}))}[/tex]
Les points M, C et D seront alignés si les vecteurs [tex]\overrightarrow{MC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{MD}[/tex] sont colinéaires.
Nous savons que le point M est sur le rivage.
Donc l'ordonnée de M est égale à 0.
Or
[tex]\overrightarrow{MC}:(x_C-x_M;y_C-y_M)=(500\sqrt{2}-x_M;500\sqrt{2}-0)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MC}:(500\sqrt{2}-x_M\ ;\ 500\sqrt{2})}\\\\\\\\\overrightarrow{MD}:(x_D-x_M;y_D-y_M)=(-750(\sqrt{6}-\sqrt{2})-x_M;750(\sqrt{6}-\sqrt{2}))\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MD}:(-750(\sqrt{6}-\sqrt{2})-x_M;750(\sqrt{6}-\sqrt{2}))}[/tex]
Ces vecteurs seront colinéaires si leur déterminant est égal à 0
[tex]x_{\overrightarrow{MC}}\times y_{\overrightarrow{MD}}-x_{\overrightarrow{MD}}\times y_{\overrightarrow{MC}}=0\\\\(500\sqrt{2}-x_M)\times750(\sqrt{6}-\sqrt{2})-(-750(\sqrt{6}+\sqrt{2}))\times500\sqrt{2}=0\\\\(500\sqrt{2}-x_M)\times(\sqrt{6}-\sqrt{2})-(-(\sqrt{6}+\sqrt{2}))\times500\sqrt{2}=0\\\\(500\sqrt{2}-x_M)\times(\sqrt{6}-\sqrt{2})+(\sqrt{6}+\sqrt{2})\times500\sqrt{2}=0\\\\(500\sqrt{2}-x_M)\times(\sqrt{6}-\sqrt{2})=-(\sqrt{6}+\sqrt{2})\times500\sqrt{2}[/tex]
[tex]\\\\(500\sqrt{2}-x_M)\times(\sqrt{6}-\sqrt{2})=-500\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\\\\500\sqrt{2}-x_M=\dfrac{-500\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\\\500\sqrt{2}-x_M=\dfrac{-500\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}\\\\500\sqrt{2}-x_M=\dfrac{-500\sqrt{2}(6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}\\\\500\sqrt{2}-x_M=\dfrac{-500\sqrt{2}(8+2\sqrt{12})}{6-2}\\\\500\sqrt{2}-x_M=\dfrac{-500\sqrt{2}(8+4\sqrt{3})}{4}[/tex]
[tex]\\\\500\sqrt{2}-x_M=\dfrac{-500\sqrt{2}\times4(2+\sqrt{3})}{4}\\\\500\sqrt{2}-x_M=-500\sqrt{2}(2+\sqrt{3})\\\\x_M=500\sqrt{2}+500\sqrt{2}(2+\sqrt{3})\\\\x_M=500\sqrt{2}[1+(2+\sqrt{3})]\\\\\boxed{x_M=500\sqrt{2}(3+\sqrt{3})\approx3346}[/tex]
Par conséquent, il faudra placer le point M sur le rivage à environ 3346 mètres à droite du point A.
Soit le repère orthonormé (A, I, J) tel que B appartient à la demi droite [AI).
Déterminons les coordonnées des points C et D dans ce repère.
L'abscisse du point C est [tex]AC\times\cos(\dfrac{\pi}{4})=1000\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\boxed{500\sqrt{2}}[/tex] et l'ordonnée du point C est [tex]AC\times\sin(\dfrac{\pi}{4})=1000\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\boxed{500\sqrt{2}}[/tex]
D'où les coordonnées du point C sont [tex]\boxed{C(500\sqrt{2}\ ;500\sqrt{2})}[/tex]
L'abscisse du point D est :
[tex]AD\times\cos(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})}=3000\times\cos(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2\pi}{3})=3000\times\cos(\dfrac{11\pi}{12})\\\\=-3000\times\cos(\dfrac{\pi}{12})=-3000\times(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})=\boxed{-750(\sqrt{6}+\sqrt{2})}[/tex]
L'ordonnée du point D est :
[tex]AD\times\sin(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})}=3000\times\sin(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2\pi}{3})=3000\times\sin(\dfrac{11\pi}{12})\\\\=3000\times\sin(\dfrac{\pi}{12})=3000\times(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})=\boxed{750(\sqrt{6}-\sqrt{2})}[/tex]
D'où les coordonnées du point D sont [tex]\boxed{D:(-750(\sqrt{6}+\sqrt{2})\ ;\ 750(\sqrt{6}-\sqrt{2}))}[/tex]
Les points M, C et D seront alignés si les vecteurs [tex]\overrightarrow{MC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{MD}[/tex] sont colinéaires.
Nous savons que le point M est sur le rivage.
Donc l'ordonnée de M est égale à 0.
Or
[tex]\overrightarrow{MC}:(x_C-x_M;y_C-y_M)=(500\sqrt{2}-x_M;500\sqrt{2}-0)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MC}:(500\sqrt{2}-x_M\ ;\ 500\sqrt{2})}\\\\\\\\\overrightarrow{MD}:(x_D-x_M;y_D-y_M)=(-750(\sqrt{6}-\sqrt{2})-x_M;750(\sqrt{6}-\sqrt{2}))\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MD}:(-750(\sqrt{6}-\sqrt{2})-x_M;750(\sqrt{6}-\sqrt{2}))}[/tex]
Ces vecteurs seront colinéaires si leur déterminant est égal à 0
[tex]x_{\overrightarrow{MC}}\times y_{\overrightarrow{MD}}-x_{\overrightarrow{MD}}\times y_{\overrightarrow{MC}}=0\\\\(500\sqrt{2}-x_M)\times750(\sqrt{6}-\sqrt{2})-(-750(\sqrt{6}+\sqrt{2}))\times500\sqrt{2}=0\\\\(500\sqrt{2}-x_M)\times(\sqrt{6}-\sqrt{2})-(-(\sqrt{6}+\sqrt{2}))\times500\sqrt{2}=0\\\\(500\sqrt{2}-x_M)\times(\sqrt{6}-\sqrt{2})+(\sqrt{6}+\sqrt{2})\times500\sqrt{2}=0\\\\(500\sqrt{2}-x_M)\times(\sqrt{6}-\sqrt{2})=-(\sqrt{6}+\sqrt{2})\times500\sqrt{2}[/tex]
[tex]\\\\(500\sqrt{2}-x_M)\times(\sqrt{6}-\sqrt{2})=-500\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\\\\500\sqrt{2}-x_M=\dfrac{-500\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\\\500\sqrt{2}-x_M=\dfrac{-500\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}\\\\500\sqrt{2}-x_M=\dfrac{-500\sqrt{2}(6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}\\\\500\sqrt{2}-x_M=\dfrac{-500\sqrt{2}(8+2\sqrt{12})}{6-2}\\\\500\sqrt{2}-x_M=\dfrac{-500\sqrt{2}(8+4\sqrt{3})}{4}[/tex]
[tex]\\\\500\sqrt{2}-x_M=\dfrac{-500\sqrt{2}\times4(2+\sqrt{3})}{4}\\\\500\sqrt{2}-x_M=-500\sqrt{2}(2+\sqrt{3})\\\\x_M=500\sqrt{2}+500\sqrt{2}(2+\sqrt{3})\\\\x_M=500\sqrt{2}[1+(2+\sqrt{3})]\\\\\boxed{x_M=500\sqrt{2}(3+\sqrt{3})\approx3346}[/tex]
Par conséquent, il faudra placer le point M sur le rivage à environ 3346 mètres à droite du point A.
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