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Veronica1
Answered

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bonjour aidez moi à cette question
determiner le polynome P(x) de degré 3 tels que
P(x+1)-P(x)=X²
puis déduire les valeurs de somme 1²+2²+3²......................+n²

Sagot :

Anylor
bonjour
le polynôme est de la forme
P(x) =ax³ +bx²+cx +d
 P(x+1) =a(x+1)³ +b(x+1)²+c(x+1) +d
 P(x+1)-P(x) =a(x+1)³ +b(x+1)²+c(x+1) +d - [ax³ +bx²+cx +d]

=3ax² +(3a+2b)x +(a+b+c) 
= x²

en résolvant le système  par identification
3a = 1  =>            a = 1/3
3a +2b = 0      => 2b = -3a =>   2b =  -3 × 1/3     =>    b = -1/2
a+b+c = 0   =>     c = 1/3   - 1/2   =  1/3

d= 0
 on remplace a; b;c; d  par les valeurs qu'on a trouvé

le Polynôme P(x) = 1/3x³-1/2x²+1/6x


3)
somme de  1²+2²+3²......................+n²

= 1/3  n³ -1/2 n² +1/6 n
Ramzi13
p(x)=ax³+bx²+cx+d
p(x+1)=a(x+1)³+b(x+1)²+c(x+1)+d
          =[a(x+1)³+b(x+1)²+c(x+1)+d]-[ax³+bx²+cx+d]
          =[a(x³+3x²+3x+1)+b(x²+2x+1)+c(x+1)+d]-[ax³+bx²+cx+d]
          =ax³+3ax²+3ax+a+bx²+2bx+b+cx+c+d-ax³-bx²-cx-d
           =3ax²+3ax+2bx+a+b+c
           =3ax²+(3a+2b)x+(a+b+c)
p(x+1)-p(x)=x² ⇔ 3ax²+(3a+2b)x+(a+b+c) =x²
                        ⇔3a=1 ;  3a+2b=0   ;  a+b+c=0
                        ⇔a=1/3  ; 3(1/3)+2b=0 ⇔1+2b=0 ⇔2b=-1 ⇔ b=-1/2
            a+b+c=0    ⇔ 1/3 + (-1/2) +c=0
                                 ⇔ 2/6-3/6+c=0
                                    ⇔-1/6+c=0
                                    ⇔ c=1/6
donc : p(x)=1/3x³-1/2x²+1/6x

1²+2²+3²+........+n²=1/6n(n+1)(2n+1)
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