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Sagot :
Bonjour
Starsasou973
Soit a un réel strictement positif
Alors la somme de a et de son inverse est : a + 1/a
Calculons le signe de a + 1/a - 2.
[tex]a+\dfrac{1}{a}-2=\dfrac{a^2}{a}+\dfrac{1}{a}-\dfrac{2a}{a}\\\\a+\dfrac{1}{a}-2=\dfrac{a^2+1-2a}{a}\\\\a+\dfrac{1}{a}-2=\dfrac{a^2-2a+1}{a}\\\\\boxed{a+\dfrac{1}{a}-2=\dfrac{(a-1)^2}{a}}[/tex]
Or
(a - 1)² ≥ 0 car un carré n'est jamais négatif.
a > 0 par définition de a.
D'où
[tex]\dfrac{(a-1)^2}{a}\ge0\\\\\Longrightarrow a+\dfrac{1}{a}-2\ge0\\\\\Longrightarrow\boxed{a+\dfrac{1}{a}\ge2}[/tex]
Nous aurons une égalité pour a = 1 car [tex]1+\dfrac{1}{1}=1+1=2[/tex]
Soit a un réel strictement positif
Alors la somme de a et de son inverse est : a + 1/a
Calculons le signe de a + 1/a - 2.
[tex]a+\dfrac{1}{a}-2=\dfrac{a^2}{a}+\dfrac{1}{a}-\dfrac{2a}{a}\\\\a+\dfrac{1}{a}-2=\dfrac{a^2+1-2a}{a}\\\\a+\dfrac{1}{a}-2=\dfrac{a^2-2a+1}{a}\\\\\boxed{a+\dfrac{1}{a}-2=\dfrac{(a-1)^2}{a}}[/tex]
Or
(a - 1)² ≥ 0 car un carré n'est jamais négatif.
a > 0 par définition de a.
D'où
[tex]\dfrac{(a-1)^2}{a}\ge0\\\\\Longrightarrow a+\dfrac{1}{a}-2\ge0\\\\\Longrightarrow\boxed{a+\dfrac{1}{a}\ge2}[/tex]
Nous aurons une égalité pour a = 1 car [tex]1+\dfrac{1}{1}=1+1=2[/tex]
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