Bonjour,
Partie A
g(x) = -3x⁴ + 3x³ + 1
1) lim g(x) quand x → + ou - ∞
= lim -3x⁴(1 - 1/x - 1/3x⁴)
= lim (-3x⁴) car 1/x et 1/3x⁴ tendent vers 0
= -∞
2) g'(x) = -12x³ + 9x² = 3x²(-4x + 3)
Signe de g'(x) = signe de (-4x + 3)
x -∞ 0 3/4 +∞
(-4x+3) + 0 + 0 -
g'(x) + 0 + 0 -
g(x) -∞ crois. 1 crois. g(3/4) décrois. -∞
g(3/4) = -3(3/4)⁴ + 3(3/4)³ + 1 ...= environ 1,316
3) a)
lim g(x) quand x → -∞ = -∞
g(3/4) > 0
et g est croissante sur ]-∞;3/4]
donc il existe une unique valeur x₁ appartenant à ]-∞:3/4] tel que g(x₁) = 0
De même :
g(3/4) > 0
lim g(x) quand x → +∞ = -∞
et g est décroissante sur [3/4:+∞[
donc il existe une unique valeur x₂ appartenant à [3/4;+∞[ tel que g(x₂) = 0
g(x) = 0 a donc exactement 2 solutions sur R.
b) x₁ = -0,6 et x₂ = 1,2 à 0,1 près
4)
x -∞ x₁ 3/4 x₂ +∞
g(x) croissante décroissante
g(x) - 0 + 0 -
Partie B
f(x) = 2 + (4x - 3)/(x⁴ + 1)
1) a) lim f(x) quand x → + ou -∞
= lim (2 + 4x/x⁴) (par factorisation des termes de plus haut degré)
= 2 + lim(4/x³)
= 2
Donc la courbe C admet pour asymptote la droite (D) d'équation y = 2
b) 2 - f(x) = (4x - 3)/(x⁴ + 1)
⇒ lim quand x → -∞ (2 - f(x)) = lim (4/x³) = 0⁻ (car x < 0)
et lim quand x → +∞ (2 - f(x)) = lim (4/x³) = 0⁺ (car x > 0)
Donc C est en-dessous de (D) quand x → -∞
et C est au-dessus de (D) quand x → +∞
2) a) f est de la forme u/v avec u(x) = 4x - 3 et v(x) = x⁴ + 1
soit u'(x) = 4 et v'(x) = 4x³
et donc f' = [u'v è uv']/v²
⇒ f'(x) = [4(x⁴ + 1) - (4x - 3)(4x³)]/(x⁴ + 1)²
⇔ f'(x) = (4x⁴ + 4 - 16x⁴ + 12x³)/(x⁴ + 1)²
⇔ f'(x) = 4(-3x⁴ + 3x³ + 1)/(x⁴ + 1)²
⇒ f'(x) = 4g(x)/(x⁴ + 1)²
b) f' est donc du signe de g
x -∞ x₁ x₂ +∞
g(x) - + -
f'(x) - + -
f(x) 2⁻ décrois. crois. décrois. 2⁺
c) f(0) = -1 et f'(0) = 4
Tangente à C en x = 0 : y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 4x - 1
3) Cf ci-joint
