Bonjour
Tibbey
1) Nous savons que pour tout x de R, -1 ≤ cos x ≤ 1.
Donc 2 - 1 ≤ 2 + cos x ≤ 2 + 1
1 ≤ 2 + cos x ≤ 3 ==> 0 < 1 ≤ 2 + cos x
D'où 2 + cos x > 0.
Or pour tout x de R, [tex]e^{1-x}\ \textgreater \ 0[/tex]
On en déduit que [tex](2+\cos x)e^{1-x}\ \textgreater \ 0[/tex], soit que [tex]\boxed{f(x)\ \textgreater \ 0}[/tex]
2) a) Nous utiliserons la formule d'addition : cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b.
[tex]\sqrt{2}\times\cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}\times[\cos x\cos(\dfrac{\pi}{4})+\sin x\sin (\dfrac{\pi}{4})]\\\\\sqrt{2}\times\cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}\times[\cos x\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sin x\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}]\\\\\sqrt{2}\times\cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}[\cos x+\sin x]\\\\\sqrt{2}\times\cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{(\sqrt{2})^2}{2}[\cos x+\sin x]\\\\\sqrt{2}\times\cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{2}{2}[\cos x+\sin x][/tex]
[tex]\Longrightarrow\boxed{\sqrt{2}\times\cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\cos x+\sin x}[/tex]
[tex]b)\ 2+\cos x+\sin x=2+\sqrt{2}\cos(x-\dfrac{\pi}{4})[/tex]
Or
[tex]\cos(x-\dfrac{\pi}{4})\ge-1\Longrightarrow\sqrt{2}\cos(x-\dfrac{\pi}{4})\ge-\sqrt{2}\\\\\\\Longrightarrow2+\sqrt{2}\cos(x-\dfrac{\pi}{4})\ge2-\sqrt{2}\\\\\\\Longrightarrow2+\sqrt{2}\cos(x-\dfrac{\pi}{4})\ge0,585...\\\\\\\Longrightarrow2+\sqrt{2}\cos(x-\dfrac{\pi}{4})\ \textgreater \ 0[/tex]
D'où [tex]\boxed{2+\cos x+\sin x\ \textgreater \ 0}[/tex]
c) f est le produit de deux fonctions dérivables sur R ==> cette fonction f est dérivable sur R.
[tex]f'(x)=[(2+\cos x)e^{1-x}]'\\\\f'(x)=(2+\cos x)'\times e^{1-x}+(2+\cos x)\times[e^{1-x}]'\\\\f'(x)=(0-\sin x)\times e^{1-x}+(2+\cos x)\times[(1-x)'e^{1-x}]\\\\f'(x)=-\sin x\times e^{1-x}+(2+\cos x)\times[(-1)e^{1-x}]\\\\f'(x)=-\sin x\times e^{1-x}-(2+\cos x)\times e^{1-x}\\\\\boxed{f'(x)=-(2+\cos x+\sin x)\times e^{1-x}}[/tex]
Or
[tex]\left\{\begin{matrix}2+\cos x+\sin x\ \textgreater \ 0\\e^{1-x}\ \textgreater \ 0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow(2+\cos x+\sin x)e^{1-x}\ \textgreater \ 0\\\\\\\Longrightarrow-(2+\cos x+\sin x)e^{1-x}\ \textless \ 0\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)\ \textless \ 0}[/tex]
Par conséquent, f est strictement décroissante sur R.
3) La question est incomplète...
