Bonjour
LesGenereuxMaiderons
1) Calculer les coordonnées de B' milieu de [AC] et C' milieu de [AC]
[tex]B'(\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2})=(\dfrac{3-2}{2};\dfrac{-2-1}{2})=(\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2})\Longrightarrow\boxed{B'(\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2})}\\\\\\C'(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})=(\dfrac{3-5}{2};\dfrac{-2-4}{2})=(-1;1)\Longrightarrow\boxed{C'(-1;1)}[/tex]
2) Prouver que C'B' (vecteur)=1/2 BC (vecteur)
[tex]\overrightarrow{C'B'}=\overrightarrow{C'A}+\overrightarrow{AB'}\\\\\\\overrightarrow{C'B'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\\\\\\overrightarrow{C'B'}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})\\\\\\\boxed{\overrightarrow{C'B'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}}[/tex]
3) Calculer les coordonnées de G vérifiant CG (vecteur) = 2/3CC' (vecteur)
[tex]\overrightarrow{CC'}(x_{C'}-x_C;y_{C'}-y_C)=(-1+2;1+1)=(1;2)\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{CC'}\ \ (1;2)\\\\\Longrightarrow\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CC'}\ \ (\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3})\\\\\\\overrightarrow{CG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CC'}\Longleftrightarrow(x_G-x_C;y_G-y_C)=(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3})\\\\\\\Longleftrightarrow(x_G+2;y_G+1)=(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3})\\\\\\\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}x_G+2=\dfrac{2}{3}\\\\y_G+1=\dfrac{4}{3} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}x_G=\dfrac{2}{3}-2\\\\y_G=\dfrac{4}{3}-1\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}x_G=-\dfrac{4}{3}\\\\y_G=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{G\ \ (-\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3})}[/tex]
4) Les points B, G et B' sont-ils alignées ?
Si oui déterminer le nombre k réel que BG (vecteur)=kBB' (vecteur)
[tex]\overrightarrow{BG}(-\dfrac{4}{3}+5;\dfrac{1}{3}-4)=\boxed{(\dfrac{11}{3};-\dfrac{11}{3})}\\\\\\\overrightarrow{BB'}(\dfrac{1}{2}+5;-\dfrac{3}{2}-4)=\boxed{(\dfrac{11}{2};-\dfrac{11}{2})}[/tex]
Montrons que ces vecteurs sont colinéaires en montrant que leur déterminant est égal à 0.
[tex]\dfrac{11}{3}\times(-\dfrac{11}{2})-\dfrac{11}{2}\times(-\dfrac{11}{3})=-\dfrac{121}{6}+\dfrac{121}{6}=0[/tex]
Puisque le déterminant est égal à 0, les vecteurs vec(BG) et vec(BB') sont colinéaires.
Par conséquent, les points B, G et B' sont alignés.
De plus
[tex]\overrightarrow{BG}(\dfrac{11}{3};-\dfrac{11}{3})\Longrightarrow3\overrightarrow{BG}(11;-11)\\\\\\\overrightarrow{BB'}(\dfrac{11}{2};-\dfrac{11}{2})\Longrightarrow2\overrightarrow{BB'}(11;-11)[/tex]
D'où
[tex]3\overrightarrow{BG}=2\overrightarrow{BB'}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BB'}}[/tex]
Par conséquent, k = 2/3.
