Bonjour AdelinePcn
1) Coût unitaire de production : f(x) = x + 72
Coût total de production = nombre de lots produits * coût unitaire + frais fixes
Donc
Coût total de production C(x) = x(x+72) + 3952
C(x) = x² + 72x + 3952
Prix de vente des x lots = 200x
Donc Bénéfice B(x) = Prix de vente - coût total de production/
B(x) = 200x - (x² + 72x + 3952)
B(x) = 200x - x² - 72x - 3952
B(x) = -x² + 128x - 3952.
2) B'(x) = -2x + 128
Tableau de signes de la dérivée et variations de la fonction B :
-2x + 128 = 0 ===> 2x = 128 ===> x = 64
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&64&&+\infty\\B'(x)=-2x+128&&+&0&-&\\&&&&&\\B(x)&-3952&\nearrow&144&\searrow&-\infty\\ \end{array}[/tex]
Monsieur Dupré peut espérer un bénéfice maximal égal à 144 € si la société fabrique et vend 64 lots de mobiliers par semaine.
[tex]3)\ (x-52)(76-x)=x\times76-x\times x-52\times76+52\times x\\\\(x-52)(76-x)=76x-x^2-3952+52x\\\\(x-52)(76-x)=-x^2+128x-3952\\\\\boxed{(x-52)(76-x)=B(x)}[/tex]
Résolvons l'inéquation [tex]B(x)\ge0[/tex]
[tex](x-52)(76-x)\ge0\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&52&&76&&+\infty\\x-52&&-&0&+&+&+&\\76-x&&+&+&+&0&-&\\&&&&&&&\\B(x)=(x-52)(76-x)&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\\boxed{B(x)\ge0}\Longleftrightarrow\boxed{52\le x\le76}[/tex]
Par conséquent, pour que la société soit rentable, il faut qu'elle produise entre 52 et 76 lots de mobiliers par semaine.
