Bonjour MuffinW
1) G ∈ [AO]
Lorsque G et A sont superposés, alors x = AG = 0.
Lorsque G est en O, alors x = AG = AO = 3
Lorsque G est entre A et O, alors 0 < x < 3
Par conséquent, x ∈ [0 ; 3]
2) Les dimensions du rectangle DEFG sont FG et DG.
Or FG = 2GO
Or AG + GO = AO ==> x + GO = 3
==> GO = 3 - x
D'où FG = 2(3 - x)
FG = 6 - 2x
De plus DG est l'ordonnée du point G d'abscisse x.
Cette ordonnée est égale à f(x)
D'où [tex]DG=-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{3}{2}x[/tex]
On en déduit alors l'aire A(x) du rectangle DEFG.
[tex]A(x)=FG\times DG\\\\A(x)=(6-2x)(-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{3}{2}x)\\\\A(x)=-\dfrac{6}{4}x^2+\dfrac{18}{2}x+\dfrac{2}{4}x^3-\dfrac{6}{2}x^2\\\\A(x)=-\dfrac{3}{2}x^2+9x+\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{6}{2}x^2\\\\\boxed{A(x)=\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{9}{2}x^2+9x}[/tex]
[tex]3)\ a)\ A'(x)=(\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{9}{2}x^2+9x)'\\\\A'(x)=\dfrac{3}{2}x^2-9x+9[/tex]
Etude du signe de A'(x) et variations de A(x) dans l'intervalle [0 ; 3]
[tex]\dfrac{3}{2}x^2-9x+9=0\\\\\Delta=(-9)^2-4\times\dfrac{3}{2}\times9=81-54=27\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{9-\sqrt{27}}{2\times\frac{3}{2}}=\dfrac{9-3\sqrt{3}}{3}=\dfrac{3(3-\sqrt{3})}{3}=3-\sqrt{3}\\\\x_2=\dfrac{9+\sqrt{27}}{2\times\frac{3}{2}}=\dfrac{9+3\sqrt{3}}{3}=\dfrac{3(3+\sqrt{3})}{3}=3+\sqrt{3}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&0&&3-\sqrt{3}&&3&&3+\sqrt{3}&&+\infty\\A'(x)&+&+&0&-&-&-&0&+&\\A(x)&0&\nearrow&&\searrow&0&||&||&||&\\ \end{array}[/tex]
b) L'aire du rectangle DEFG est maximale pour [tex]\boxed{x=3-\sqrt{3}}[/tex]
