Bonjour Irregulaar
1) Tu as dû trouver que S est une sphère de centre Ω(1 ; 0 ; -1) et de rayon R = 1.
2) a) Montrons que Ω est le milieu de [AB].
[tex](\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2})=(\dfrac{2+0}{2};\dfrac{0+0}{2};\dfrac{-1-1}{2})\\\\\\(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2})=(\dfrac{2}{2};0;\dfrac{-2}{2})\\\\\\(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2})=(1;0;-1)[/tex]
Puisque (1 ; 0 ; -1) sont les coordonnées du centre Ω de la sphère, ce centre Ω est donc le milieu de [AB].
Par conséquent, les points A et B sont diamétralement opposés sur la sphère S.
[tex]b)\ \overrightarrow{NA}\ (x_A-x_N;y_A-y_N;z_A-z_N)\\\\\overrightarrow{NA}\ (2-1-\alpha,0-\sqrt{2\alpha(1-\alpha)};-1+\alpha)\\\\\boxed{\overrightarrow{NA}\ (1-\alpha,-\sqrt{2\alpha(1-\alpha)};-1+\alpha)}\\\\\\\overrightarrow{NB}\ (x_B-x_N;y_B-y_N;z_B-z_N)\\\\\overrightarrow{NB}\ (0-1-\alpha,0-\sqrt{2\alpha(1-\alpha)};-1+\alpha)\\\\\boxed{\overrightarrow{NB}\ (-1-\alpha,-\sqrt{2\alpha(1-\alpha)};-1+\alpha)}[/tex]
D'où
[tex]\overrightarrow{NA}.\overrightarrow{NB}=(1-\alpha)(-1-\alpha)+(-\sqrt{2\alpha(1-\alpha)})^2+(-1+\alpha)^2\\\\\overrightarrow{NA}.\overrightarrow{NB}=-1-\alpha+\alpha+\alpha^2+2\alpha(1-\alpha)+(-1+\alpha)^2\\\\\overrightarrow{NA}.\overrightarrow{NB}=-1+\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2+1-2\alpha+\alpha^2\\\\\boxed{\overrightarrow{NA}.\overrightarrow{NB}=0}[/tex]
On en déduit que les vecteurs [tex]\overrightarrow{NA}[/tex] et [tex]\overrightarrow{NB}[/tex] sont orthogonaux.
Donc, les droites (NA) et (NB) sont perpendiculaires en N.
D'où, le triangle ANB est rectangle en N ==> [AB] est l’hypoténuse.
Par conséquent, le triangle ANB peut être inscrit dans un cercle de diamètre [AB].
Or un cercle de diamètre [AB] est un grand cercle de la sphère S.
Par conséquent, le point N appartient à la sphère S.
