bonjour
exercice 42
initialisation
pour
n=0
To
= 0/(0+1) = 0/1 = 0
donc
la propriété est vraie au rang 0 c'est à dire pour n = 0
(
car l'énoncé donne To = 0)
hérédité
soit
k un entier naturel
supposons
que k /(k+1) soit vrai
(hypothèse de
récurrence)
il
faut montrer que la propriété est vraie pour l'entier suivant
c'est
à dire que :
T(k+1)
= (k+1) / [(k+1) +1]
soit que
(k+1) /(k+2) est vraie
démonstration
de l'hérédité
T(k+1)
= Tk + 1/(k+1)(k+2)
=
k /(k+1) + 1/(k+1)(k+2)
on
met au m^me dénominateur
=
[ k(k+1)(k+2) +(k+1)] / [(k+1)(k+2) (k+1) ]
=
[(k³ +3k²+3k +1)] / [(k+1)²(k+2)]
=[(k+1)³] / [(k+1)²(k+2)]
on
simplifie par (k+1)²
=[(k+1)]/
[(k+2)]
donc
l'égalité est vérifiée au rang k+1
donc
la propriété est héréditaire
conclusion
proposition
vraie pour n =0
par hérédité elle est vraie pour l'entier
supérieur
elle est donc vraie pour tout nombre entier n, n≥0
exercice 44
1)
les 10 premiers termes de la suite = 2
2)
on peut conjecturer que tous les termes de Un sont égaux à 2
pour tout n €N , Un = 2
3)
initialisation
pour
n=0
U(0+1)
=U1= ¾ × 2 +1/2 = 2
donc
la propriété est vraie au rang 0 c'est à dire pour n = 0
U1
= 2
hérédité
soit
k un entier naturel
supposons
que u(k+1) =¾ × uk +1/2 = 2 VRAIE
(hypothèse de récurrence)
il
faut montrer que la propriété est vraie pour l'entier suivant
c'est
à dire que :
U(k+2)
= ¾ × u (k +1) +1/2
est
vraie
démonstration
de l'hérédité
U(k+2)
= ¾ × (¾ × uk +1/2) +1/2
=
¾ × (2) +1/2
=2
donc
l'égalité est vérifiée au rang k+1
donc
la propriété est héréditaire
conclusion
proposition
vraie pour n =0
par hérédité elle est vraie pour l'entier
supérieur
elle est donc vraie pour tout nombre entier n, n≥0
