Bonjour Monpetitcoeur72
1) Arbre pondéré en pièce jointe.
Soit C : "l'élève connaît la réponse"
J : "la réponse est juste".
Alors
[tex]P(J)=P_C(J)\times P(C)+P_{\overline{C}}(J)\times P(\overline{C})\\\\P(J)=1\times\dfrac{60}{100}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{40}{100}\\\\P(J)=\dfrac{60}{100}+\dfrac{40}{300}\\\\P(J)=\dfrac{180}{300}+\dfrac{40}{300}\\\\P(J)=\dfrac{220}{300}\\\\\boxed{P(J)=\dfrac{11}{15}}[/tex]
D'où, la probabilité que l'élève réponde juste à la première question est égale à 11/15.
2) Les 20 questions sont indépendantes les unes des autres.
Il n'y a que deux issues possibles lors d'une réponse : réponse juste ou réponse fausse.
La variable X suit donc la loi binomiale dont les paramètres sont n=20 et p=11/15.
X peut prendre toutes les valeurs entières de l'intervalle [0 ; 20].
Donc [tex]\boxed{P(X=k)=\binom{20}{k}(\dfrac{11}{15})^k(\dfrac{4}{15})^{20-k}}[/tex]
[tex]P(X=0)=\binom{20}{0}(\dfrac{11}{15})^0(\dfrac{4}{15})^{20}\approx3,3\times10^{-12}\\\\P(X=1)=\binom{20}{1}(\dfrac{11}{15})^1(\dfrac{4}{15})^{19}\approx1,8\times10^{-10}\\\\P(X=2)=\binom{20}{2}(\dfrac{11}{15})^2(\dfrac{4}{15})^{18}\approx4,8\times10^{-9}\\\\P(X=3)=\binom{20}{3}(\dfrac{11}{15})^3(\dfrac{4}{15})^{17}\approx7,8\times10^{-8}\\\\P(X=4)=\binom{20}{4}(\dfrac{11}{15})^4(\dfrac{4}{15})^{16}\approx9,2\times10^{-7}[/tex]
Et ainsi de suite...
Voici un tableau des valeurs de P(X=k) pour k allant de 0 à 20.
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|} k&0&1&2&3\\P(X=k)&3,3\times10^{-12}&1,8\times10^{-10}&4,8\times10^{-9}&7,8\times10^{-8}\\ \end{array}\\\\\\\begin{array}{|c|c|c|c|c|} k&4&5&6&7\\P(X=k)&9,2\times10^{-7}&8,1\times10^{-6}&5,5\times10^{-5}&3\times10^{-4}\\ \end{array}\\\\\\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} k&8&9&10&11&12&13\\P(X=k)&0,0014&0,005&0,015&0,038&0,078&0,13\\ \end{array}\\\\\\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} k&14&15&16&17&18&19&20\\P(X=k)&0,18&0,2&0,17&0,11&0,051&0,015&0,002\\ \end{array}[/tex]
[tex]3)\ E(X)=np\Longrightarrow\boxed{E(X)=20\times\dfrac{11}{15}=\dfrac{44}{3}\approx14,7}\\\\V(X)=npq\Longrightarrow\boxed{V(X)=20\times\dfrac{11}{15}\times\dfrac{4}{15}=\dfrac{176}{45}\approx3,9}[/tex]
[tex]4)\ N=X-2(20-X)\\\\N=X-40+2X\\\\\boxed{N=3X-40}\\\\E(N)=3E(X)-40\\\\E(N)=3\times\dfrac{44}{3}-40=44-40\\\\\boxed{E(N)=4}\\\\V(N)=V(3X-40)\\\\V(N)=3^2\times V(N)\\\\V(N)=9\times\dfrac{176}{45}\\\\\boxed{V(N)=\dfrac{176}{5}=35,2}[/tex]
