Bonjour,
f(x) = (x - 1)² + 2
1) f(x) - f(y)
= (x - 1)² + 2 - (y - 1)² - 2
= (x - 1 + y - 1)(x - 1 - y + 1) (a² - b² ) = (a + b)(a - b)
= (x + y - 2)(x - y)
2) 1 ≤ x < y
a) signe de (x - y) :
x < y
⇒ x - y < 0
signe de (x + y - 2) :
x ≥ 1 et y > x ⇒ y > 1
donc x + y > 2
⇒ x + y - 2 > 0
b)
(x - y) < 0 et (x + y - 2) > 0
⇒ (x - y)(x + y - 2) < 0
⇔ f(x) - f(y) < 0
Donc si 1 ≤ x < y alors f(x) < f(y) : donc la fonction f est croissante sur [1; +∞[
