Sagot :
Bonjour Keke57
[tex]f(x)=ax^3+x^2+x+1[/tex]
1) Si a = 0, alors f(x) = x² + x + 1
f '(x) = 2x + 1
Tableau de signes de f '(x) et variations de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-\frac{1}{2}&&+\infty\\f'(x)&&-&0&+&\\f(x)&&\searrow&\frac{3}{4}&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
Si a = 0, alors
la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-oo ; -1/2]
la fonction f est croissante sur l'intervalle [-1/2 ; +oo[
2) a ≠ 0.
[tex]f(x)=ax^3+x^2+x+1\\\\f'(x)=3ax^2+2x+1[/tex]
Etudions le signe de cette dérivée f '(x)
[tex]\Delta=2^2-4\times3a\times1=4-12a[/tex]
Puisque la dérivée est un trinôme du second degré, son signe dépend du signe de Δ et du signe de a.
[tex]\boxed{\Delta=0}\Longleftrightarrow4-12a=0\Longleftrightarrow12a=4\Longleftrightarrow a=\dfrac{4}{12}\Longleftrightarrow\boxed{a=\dfrac{1}{3}}\\\\\boxed{\Delta\ \textless \ 0}\Longleftrightarrow4-12a\ \textless \ 0\Longleftrightarrow12a\ \textgreater \ 4\Longleftrightarrow a\ \textgreater \ \dfrac{4}{12}\Longleftrightarrow\boxed{a\ \textgreater \ \dfrac{1}{3}}\\\\\boxed{\Delta\ \textgreater \ 0}\Longleftrightarrow4-12a\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow12a\ \textless \ 4\Longleftrightarrow a\ \textless \ \dfrac{4}{12}\Longleftrightarrow\boxed{a\ \textless \ \dfrac{1}{3}}[/tex]
D'où,
Si [tex]\boxed{a\ \textgreater \ \dfrac{1}{3}}[/tex], alors Δ < 0.
La dérivée f'(x) n'admet pas de racine et est du signe de a pour tout x réel.
Puisque a > 1/3 > 0, la dérivée f'(x) sera strictement positive pour tout x réel.
Par conséquent, si a > 1/3, alors la fonction f sera strictement croissante sur R
Si [tex]\boxed{a=\dfrac{1}{3}}[/tex], alors Δ = 0.
La dérivée admet alors une racine double [tex]\dfrac{-2}{2\times3a}=\dfrac{-1}{3a}[/tex]
De plus cette dérivée aura le même signe que a, soit positif pour toutes les valeurs de x autres que la racine.
D'où le tableau de signe de f'(x) suivant et les variations de f :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-\frac{1}{3a}&&+\infty\\&&&&&\\f'(x)&&+&0&+&\\f(x)&&\nearrow&&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, si a = 1/3, alors la fonction f est croissante sur R.
Si [tex]\boxed{a\ \textless \ \dfrac{1}{3}}[/tex],alors Δ > 0.
La dérivée admet alors deux racines distinctes x1 et x2.
De plus cette dérivée aura le même signe que a pour toutes les valeurs de x extérieures aux racines et aura le signe contraire de a pour les valeurs de x situées entre les racines.
2 cas sont à envisager :
1er cas : a < 0
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&x_1&&x_2&&+\infty\\&&&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
Si a < 1/3, alors
la fonction f est décroissante sur les intervalles ]-oo ; x1] et [x2 ; +oo[
la fonction f est croissante sur l'intervalle [x1 ; x2]
2ème cas : 0 < a < 1/3
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&x_1&&x_2&&+\infty\\&&&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&0&+&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
Si 0 < a < 1/3, alors
la fonction f est croissante sur les intervalles ]-oo ; x1] et [x2 ; +oo[
la fonction f est décroissante sur l'intervalle [x1 ; x2]
[tex]f(x)=ax^3+x^2+x+1[/tex]
1) Si a = 0, alors f(x) = x² + x + 1
f '(x) = 2x + 1
Tableau de signes de f '(x) et variations de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-\frac{1}{2}&&+\infty\\f'(x)&&-&0&+&\\f(x)&&\searrow&\frac{3}{4}&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
Si a = 0, alors
la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-oo ; -1/2]
la fonction f est croissante sur l'intervalle [-1/2 ; +oo[
2) a ≠ 0.
[tex]f(x)=ax^3+x^2+x+1\\\\f'(x)=3ax^2+2x+1[/tex]
Etudions le signe de cette dérivée f '(x)
[tex]\Delta=2^2-4\times3a\times1=4-12a[/tex]
Puisque la dérivée est un trinôme du second degré, son signe dépend du signe de Δ et du signe de a.
[tex]\boxed{\Delta=0}\Longleftrightarrow4-12a=0\Longleftrightarrow12a=4\Longleftrightarrow a=\dfrac{4}{12}\Longleftrightarrow\boxed{a=\dfrac{1}{3}}\\\\\boxed{\Delta\ \textless \ 0}\Longleftrightarrow4-12a\ \textless \ 0\Longleftrightarrow12a\ \textgreater \ 4\Longleftrightarrow a\ \textgreater \ \dfrac{4}{12}\Longleftrightarrow\boxed{a\ \textgreater \ \dfrac{1}{3}}\\\\\boxed{\Delta\ \textgreater \ 0}\Longleftrightarrow4-12a\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow12a\ \textless \ 4\Longleftrightarrow a\ \textless \ \dfrac{4}{12}\Longleftrightarrow\boxed{a\ \textless \ \dfrac{1}{3}}[/tex]
D'où,
Si [tex]\boxed{a\ \textgreater \ \dfrac{1}{3}}[/tex], alors Δ < 0.
La dérivée f'(x) n'admet pas de racine et est du signe de a pour tout x réel.
Puisque a > 1/3 > 0, la dérivée f'(x) sera strictement positive pour tout x réel.
Par conséquent, si a > 1/3, alors la fonction f sera strictement croissante sur R
Si [tex]\boxed{a=\dfrac{1}{3}}[/tex], alors Δ = 0.
La dérivée admet alors une racine double [tex]\dfrac{-2}{2\times3a}=\dfrac{-1}{3a}[/tex]
De plus cette dérivée aura le même signe que a, soit positif pour toutes les valeurs de x autres que la racine.
D'où le tableau de signe de f'(x) suivant et les variations de f :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-\frac{1}{3a}&&+\infty\\&&&&&\\f'(x)&&+&0&+&\\f(x)&&\nearrow&&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, si a = 1/3, alors la fonction f est croissante sur R.
Si [tex]\boxed{a\ \textless \ \dfrac{1}{3}}[/tex],alors Δ > 0.
La dérivée admet alors deux racines distinctes x1 et x2.
De plus cette dérivée aura le même signe que a pour toutes les valeurs de x extérieures aux racines et aura le signe contraire de a pour les valeurs de x situées entre les racines.
2 cas sont à envisager :
1er cas : a < 0
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&x_1&&x_2&&+\infty\\&&&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
Si a < 1/3, alors
la fonction f est décroissante sur les intervalles ]-oo ; x1] et [x2 ; +oo[
la fonction f est croissante sur l'intervalle [x1 ; x2]
2ème cas : 0 < a < 1/3
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&x_1&&x_2&&+\infty\\&&&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&0&+&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
Si 0 < a < 1/3, alors
la fonction f est croissante sur les intervalles ]-oo ; x1] et [x2 ; +oo[
la fonction f est décroissante sur l'intervalle [x1 ; x2]
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