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Sagot :
Bonjour Beto
[tex]v_{n+1}-v_n=[\dfrac{1}{n+1}+(\dfrac{2}{3})^{n+1}]-[\dfrac{1}{n}+(\dfrac{2}{3})^{n}]\\\\v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{n+1}+(\dfrac{2}{3})^{n+1}-\dfrac{1}{n}-(\dfrac{2}{3})^{n}\\\\v_{n+1}-v_n=[\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}]+[(\dfrac{2}{3})^{n+1}-(\dfrac{2}{3})^{n}]\\\\v_{n+1}-v_n=\dfrac{n-(n+1)}{n(n+1)}+(\dfrac{2}{3})^{n}[\dfrac{2}{3}-1]\\\\v_{n+1}-v_n=\dfrac{n-n-1}{n(n+1)}+(\dfrac{2}{3})^{n}[\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{3}]\\\\\boxed{v_{n+1}-v_n=\dfrac{-1}{n(n+1)}+(\dfrac{2}{3})^{n}\times(-\dfrac{1}{3})}[/tex]
Or
[tex]\boxed{\dfrac{-1}{n(n+1)}\ \textless \ 0}\\\\\ [(\dfrac{2}{3})^{n}\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ -\dfrac{1}{3}\ \textless \ 0]\Longrightarrow\boxed{(\dfrac{2}{3})^{n}\times(-\dfrac{1}{3})\ \textless \ 0}[/tex]
D'où
[tex]\dfrac{-1}{n(n+1)}+(\dfrac{2}{3})^{n}\times(-\dfrac{1}{3})\ \textless \ 0\\\\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}-v_n\ \textless \ 0}[/tex]
Par conséquent, la suite (Vn) est décroissante.
[tex]v_{n+1}-v_n=[\dfrac{1}{n+1}+(\dfrac{2}{3})^{n+1}]-[\dfrac{1}{n}+(\dfrac{2}{3})^{n}]\\\\v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{n+1}+(\dfrac{2}{3})^{n+1}-\dfrac{1}{n}-(\dfrac{2}{3})^{n}\\\\v_{n+1}-v_n=[\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}]+[(\dfrac{2}{3})^{n+1}-(\dfrac{2}{3})^{n}]\\\\v_{n+1}-v_n=\dfrac{n-(n+1)}{n(n+1)}+(\dfrac{2}{3})^{n}[\dfrac{2}{3}-1]\\\\v_{n+1}-v_n=\dfrac{n-n-1}{n(n+1)}+(\dfrac{2}{3})^{n}[\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{3}]\\\\\boxed{v_{n+1}-v_n=\dfrac{-1}{n(n+1)}+(\dfrac{2}{3})^{n}\times(-\dfrac{1}{3})}[/tex]
Or
[tex]\boxed{\dfrac{-1}{n(n+1)}\ \textless \ 0}\\\\\ [(\dfrac{2}{3})^{n}\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ -\dfrac{1}{3}\ \textless \ 0]\Longrightarrow\boxed{(\dfrac{2}{3})^{n}\times(-\dfrac{1}{3})\ \textless \ 0}[/tex]
D'où
[tex]\dfrac{-1}{n(n+1)}+(\dfrac{2}{3})^{n}\times(-\dfrac{1}{3})\ \textless \ 0\\\\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}-v_n\ \textless \ 0}[/tex]
Par conséquent, la suite (Vn) est décroissante.
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