Bonjour
1) le point M appartient à H donc ses coordonnées sont
M([tex]x ; \frac{1}{x-4} +3 )[/tex]
2) On peut dire que A est le milieu de AN, ou bien que les vecteurs MA et AN sont égaux.
En vecteurs : MA ( 3-x ; 1 - 1/(x-4))
et AN (xN - 3 ; yN - 4)
On égalise les abscisses et les ordonnées :
3-x = xN - 3 donc xN = 6 - x
et 1 - \frac{1}{x-4} = yN - 4 donc yN = 5 - 1/(x-4) = (5x - 20 - 1)/(x-4)
On obtient bien N (6-x ; (5x -21)/(x-4) )
3) Si N ∈ H alors yN = 3 + 1/(xN-4)
On remplace xN et yN par les coordonnées trouvées au 2) :
(5x -21)/(x-4) = 3 + 1/(6-x-4) = 3 + 1/(2-x)
Dénominateur commun = (x-4)(2-x)
Donc pour x≠2 et x≠4 :
(5x-21)(2-x) = 3(2x-x²-8+4x) + (x-4)
10x-42-5x²+21x = 18x -3x² -24+x-4
-5x²+31x-42 = -3x²+19x-28
-2x² + 12x - 14 =0
x² - 6x + 7 =0 qui signifie que N est le symétrique de M par rapport à A avec M∈ H et N∈H; x étant l'abscisse du point M.
4) x² - 6x +7 = 0
Δ = 36 - 28 = 8 = (2√2)²
donc x = 3 - √2 ou x = 3+√2
