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Sagot :
Bonjour
Meldu92i
[tex]1)\ \overrightarrow{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A)=(1-3;-1-1)=(-2;-2)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}:(-2;-2)}\\\\\\\overrightarrow{AC}:(x_C-x_A;y_C-y_A)=(3-3;-3-1)=(0;-4)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}:(0;-4)}\\\\\\\overrightarrow{BC}:(x_C-x_B;y_C-y_B)=(3-1;-3+1)=(2;-2)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BC}:(2;-2)}[/tex]
2) E(a ; 2)
Les points A,B et E sont alignés si les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AE}[/tex] sont colinéaires.
Or
[tex]\boxed{\overrightarrow{AB}:(-2;-2)}\\\\\\\overrightarrow{AE}:(x_E-x_A;y_E-y_A)=(a-3;2-1)=(a-3;1)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AE}:(a-3;1)}[/tex]
D'où, les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AE}[/tex] sont colinéaires si [tex](-2)\times1-(-2)\times(a-3)=0[/tex]
[tex]-2+2(a-3)=0\\-2+2a-6=0\\2a-8=0\\2a=8\\\boxed{a=4}[/tex]
3) Quelle est la nature du triangle ABC ?
[tex]AB=\sqrt{(x_{\overrightarrow{AB}})^2+(y_{\overrightarrow{AB}})^2}=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\\\\AC=\sqrt{(x_{\overrightarrow{AC}})^2+(y_{\overrightarrow{AC}})^2}=\sqrt{0^2+(-4)^2}=\sqrt{16}=4\\\\BC=\sqrt{(x_{\overrightarrow{BC}})^2+(y_{\overrightarrow{BC}})^2}=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}[/tex]
Puisque AB = BC, le triangle ABC est isocèle en B.
[tex]AB^2+BC^2=(\sqrt{8})^2+(\sqrt{8})^2\\\\AB^2+BC^2=8+8\\\\AB^2+BC^2=16\\\\AB^2+BC^2=4^2\\\\\boxed{AB^2+BC^2=AC^2}[/tex]
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle et [AC] est l'hypoténuse ===> le triangle ABC est rectangle en B.
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
[tex]4)\ a)\ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\\\\(x_D-x_A;y_D-y_A)=(2;-2)\\\\(x_D-3;y_D-1)=(2;-2)\\\\\left\{\begin{matrix}x_D-3=2\\y_D-1=-2 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x_D=2+3\\y_D=-2+1 \end{matrix}\right.\ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x_D=5\\y_D=-1 \end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point D sont (5 ; -1).
b- Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
[tex]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}[/tex]
D'où le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Puisque AB = BC, ce quadrilatère est un losange.
Or le triangle ABC est rectangle en B ==> l'angle ABC est un angle droit.
Par conséquent, le quadrilatère ABCD est un carré.
5) Déterminer les coordonnées du point J symétrique de A par rapport à B.
[tex]\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{AB}\\(x_J-x_B;y_J-y_B)=(-2;-2)\\(x_J-1;y_J+1)=(-2;-2)\\\\\left\{\begin{matrix}x_J-1=-2\\y_J+1=-2\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x_J=-2+1\\y_J=-2-1\end{matrix}\right.\ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x_J=-1\\y_J=-3\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point J sont (-1 ; -3).
6) Déterminer les coordonnées du point F appartenant à l'axe des abscisses tel que A,B et F soient alignés.
Nous savons que les coordonnées du point F sont de la forme (xF ; 0)
Les points A,B et F sont alignés si les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AF}[/tex] sont colinéaires.
Or
[tex]\boxed{\overrightarrow{AB}:(-2;-2)}\\\\\\\overrightarrow{AF}:(x_F-x_A;y_F-y_A)=(x_F-3;0-1)=(x_F-3;-1)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AF}:(x_F-3;-1)}[/tex]
D'où, les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AF}[/tex] sont colinéaires si [tex](-2)\times(-1)-(-2)\times(x_F-3)=0[/tex]
[tex]2+2(x_F-3)=0\\2+2x_F-6=0\\2x_F-4=0\\2x_F=4\\\\\boxed{x_F=2}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point F sont (2 ; 0)
7) Déterminer les coordonnées du point G appartenant à l'axe des ordonnées tel que les droites (BG) et (AI) soient parallèles.
Les coordonnées du point G sont de la forme (0 ; yG).
Les droites (BG) et (AI) soient parallèles si les vecteurs [tex]\overrightarrow{BG}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] sont colinéaires
[tex]\overrightarrow{BG}:(x_G-x_B;y_G-y_B)=(0-1;y_G+1)=(-1;y_G+1)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BG}:(-1;y_G+1)}\\\\\\\overrightarrow{AI}:(x_I-x_A;y_I-y_A)=(3-3;-1-1)=(0;-2)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AI}:(0;-2)}[/tex]
Les vecteurs [tex]\overrightarrow{BG}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] sont colinéaires si [tex](-1)\times(-2)-(y_G+1)\times0=0[/tex]
[tex](-1)\times(-2)-(y_G+1)\times0=0\\\\2-0=0\\\\2=0\Longrightarrow\boxed{Impossible}[/tex]
Par conséquent, un tel point G n'existe pas.
[tex]1)\ \overrightarrow{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A)=(1-3;-1-1)=(-2;-2)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}:(-2;-2)}\\\\\\\overrightarrow{AC}:(x_C-x_A;y_C-y_A)=(3-3;-3-1)=(0;-4)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}:(0;-4)}\\\\\\\overrightarrow{BC}:(x_C-x_B;y_C-y_B)=(3-1;-3+1)=(2;-2)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BC}:(2;-2)}[/tex]
2) E(a ; 2)
Les points A,B et E sont alignés si les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AE}[/tex] sont colinéaires.
Or
[tex]\boxed{\overrightarrow{AB}:(-2;-2)}\\\\\\\overrightarrow{AE}:(x_E-x_A;y_E-y_A)=(a-3;2-1)=(a-3;1)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AE}:(a-3;1)}[/tex]
D'où, les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AE}[/tex] sont colinéaires si [tex](-2)\times1-(-2)\times(a-3)=0[/tex]
[tex]-2+2(a-3)=0\\-2+2a-6=0\\2a-8=0\\2a=8\\\boxed{a=4}[/tex]
3) Quelle est la nature du triangle ABC ?
[tex]AB=\sqrt{(x_{\overrightarrow{AB}})^2+(y_{\overrightarrow{AB}})^2}=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\\\\AC=\sqrt{(x_{\overrightarrow{AC}})^2+(y_{\overrightarrow{AC}})^2}=\sqrt{0^2+(-4)^2}=\sqrt{16}=4\\\\BC=\sqrt{(x_{\overrightarrow{BC}})^2+(y_{\overrightarrow{BC}})^2}=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}[/tex]
Puisque AB = BC, le triangle ABC est isocèle en B.
[tex]AB^2+BC^2=(\sqrt{8})^2+(\sqrt{8})^2\\\\AB^2+BC^2=8+8\\\\AB^2+BC^2=16\\\\AB^2+BC^2=4^2\\\\\boxed{AB^2+BC^2=AC^2}[/tex]
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle et [AC] est l'hypoténuse ===> le triangle ABC est rectangle en B.
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
[tex]4)\ a)\ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\\\\(x_D-x_A;y_D-y_A)=(2;-2)\\\\(x_D-3;y_D-1)=(2;-2)\\\\\left\{\begin{matrix}x_D-3=2\\y_D-1=-2 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x_D=2+3\\y_D=-2+1 \end{matrix}\right.\ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x_D=5\\y_D=-1 \end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point D sont (5 ; -1).
b- Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
[tex]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}[/tex]
D'où le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Puisque AB = BC, ce quadrilatère est un losange.
Or le triangle ABC est rectangle en B ==> l'angle ABC est un angle droit.
Par conséquent, le quadrilatère ABCD est un carré.
5) Déterminer les coordonnées du point J symétrique de A par rapport à B.
[tex]\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{AB}\\(x_J-x_B;y_J-y_B)=(-2;-2)\\(x_J-1;y_J+1)=(-2;-2)\\\\\left\{\begin{matrix}x_J-1=-2\\y_J+1=-2\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x_J=-2+1\\y_J=-2-1\end{matrix}\right.\ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x_J=-1\\y_J=-3\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point J sont (-1 ; -3).
6) Déterminer les coordonnées du point F appartenant à l'axe des abscisses tel que A,B et F soient alignés.
Nous savons que les coordonnées du point F sont de la forme (xF ; 0)
Les points A,B et F sont alignés si les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AF}[/tex] sont colinéaires.
Or
[tex]\boxed{\overrightarrow{AB}:(-2;-2)}\\\\\\\overrightarrow{AF}:(x_F-x_A;y_F-y_A)=(x_F-3;0-1)=(x_F-3;-1)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AF}:(x_F-3;-1)}[/tex]
D'où, les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AF}[/tex] sont colinéaires si [tex](-2)\times(-1)-(-2)\times(x_F-3)=0[/tex]
[tex]2+2(x_F-3)=0\\2+2x_F-6=0\\2x_F-4=0\\2x_F=4\\\\\boxed{x_F=2}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point F sont (2 ; 0)
7) Déterminer les coordonnées du point G appartenant à l'axe des ordonnées tel que les droites (BG) et (AI) soient parallèles.
Les coordonnées du point G sont de la forme (0 ; yG).
Les droites (BG) et (AI) soient parallèles si les vecteurs [tex]\overrightarrow{BG}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] sont colinéaires
[tex]\overrightarrow{BG}:(x_G-x_B;y_G-y_B)=(0-1;y_G+1)=(-1;y_G+1)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BG}:(-1;y_G+1)}\\\\\\\overrightarrow{AI}:(x_I-x_A;y_I-y_A)=(3-3;-1-1)=(0;-2)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AI}:(0;-2)}[/tex]
Les vecteurs [tex]\overrightarrow{BG}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] sont colinéaires si [tex](-1)\times(-2)-(y_G+1)\times0=0[/tex]
[tex](-1)\times(-2)-(y_G+1)\times0=0\\\\2-0=0\\\\2=0\Longrightarrow\boxed{Impossible}[/tex]
Par conséquent, un tel point G n'existe pas.
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