Bonsoir,
1) si deux droites (PM) et (AC) sont perpendiculaire à une même troisième (AB) alors elle sont parallèles entre elles. Donc (PM) // (AC).
D'après l'énoncé on sait que P∈ [AB] ; M ∈ [BC] et comme (PM) // (AC), on applique le théorème de Thalès, donc
BP/BA = BM/BC = PM/AC d'où BP/3 = BM/5 = PM/4
1b) Utilisons le produit en croix :
BP/3 = BM/5
==> BP = (x × 3) / 5 = 3x/5
Puis PM/4 = BM/5
==> PM = (x × 4) / 5 = 4x/5
2) AB = AP + PB puisque P ∈ [AB]
donc 3 = AP + 3x/5
AP = 3 - 3x/5
3) APQM est un carré si AP = PM
Je simplifie....
3 - 3x/5 = 4x/5
3 - 3x/5 + 3x/5 = 4x/5 + 3x/5
3 = 7x / 5
3 × 5 = 7x/5 × 5
15 = 7x
15 / 7 = x
Pour que APMQ soit un carré la valeur de x doit être égal à 15/7 cm (environ 2,14 cm)
4) APQM est un rectangle donc A(x) = AP × PM
A(x) = (3 - 3x/5) × (4x/5)
A(x) = (3 × 4x/5) - (3x/5 × 4x/5)
A(x) = (12x/5) - (12x/25)
A(x) = 12x/5 - 12x/25
A(x) = 2,4x - 0,48x²
J'ai tracé un graphique à main levée sur un repère orthonormé :
L'abscisse (axe horizontal) est la valeur de "x" en cm
L'ordonnée (axe vertical) est la valeur de l'aire (en cm²)
Point A (0,45 ; 1)
Point B(4,55 ; 1)
P oint C (2,5 ; 3)
Tracer la courbe partant de 0 en abscisse passant les points A puis C puis B
5 a) Par lecture graphique, l'aire du rectangle APMQ est de 1cm² pour (x ≈ 1/2 cm) et x ≈ 4,5 cm
5 b) Par lecture graphique, l'aire du rectangle APMQ est max pour x = 2,5 cm et cette aire maximale est A ≈ 3 cm²
J'espère t'avoir aidée !
