Salut
1) (tout en vecteurs)
AD = AB - AC = AB + CA = CA + AB = CB (application directe du cours)
donc les vecteurs AD et CB sont égaux, donc tu reproduis le vecteur CB (parallèle au CB que tu as sur la figure, orienté dans le même sens et de même longueur), sauf que tu pars du point A. Au bout du vecteur tu places le point D.
Pour le point E, tu fais pareil, il faut savoir à quoi ça correspond :
AE = -AB+AC = BA+AC=BC, donc tu reproduis le vecteur BC, mais en partant du point A. Au bout du vecteur, tu places ta flèche et le point E.
2a) Voir au 1)
b) On a AD = CB en vecteur donc par définition d'un parallélogramme (côtés parallèles deux à deux et de même longueur), alors ADBC en est un.
3) Tu reprends le 1) où on a vu que AE=BC, d'après la définition d'un parallélogramme on a alors AECB est un parallélogramme. En "tournant" dans l'autre sens à partir du point A, on voit bien que le parallélogramme ABCE est le même parallélogramme que AECB, on peut argumenter en disant qu'ils ont les mêmes diagonales, donc c'est forcément le même parallélogramme.
4) Le point A est le milieu du segment ED si (en vecteurs) EA = AD
L'énoncé dit que AD = AB - AC = AB - (AB+BC )
donc AD = AB - AB - BC = - BC
or on a vu au 1) et au 3) que BC = AE donc -BC = -AE = EA
On obtient bien EA = AD et donc, A est le milieu de ED.
5) Les droites DE et BC sont parallèles :
E est le milieu de AD donc les points EAD sont alignés.
De plus AE = BC (en vecteurs) dont ils sont portés par des droites parallèles, qui sont les côtés opposés du parallélogramme.
En conséquences, les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
