Bonjour
Ruby45
1) L'équation de la tangente (T) à la courbe Cf au point d'abscisse 0 est de la forme : [tex]y=f'(0)(x-0)+f(0)[/tex], soit [tex]y=f'(0)x+f(0)[/tex]
Or
[tex]f(x)=x^2+3x-1\Longrightarrow f(0)=0+3-1\Longrightarrow\boxed{f(0)=-1}\\\\f(x)=x^2+3x-1\Longrightarrow f'(x)=2x+3\Longrightarrow\boxed{f'(0)=3}[/tex]
Par conséquent, l'équation de la tangente (T) est [tex]\boxed{(T):y=3x-1}[/tex]
2) Figure en pièce jointe.
3) La courbe Cf admet une tangente horizontale en son point minimal.
Si la tangente est horizontale, alors son coefficient directeur est égal à 0
D'où
[tex]f'(x)=0\\2x+3=0\\2x=-3\\\\\boxed{x=-\dfrac{3}{2}}\\\\\Longrightarrow f(x)=(-\dfrac{3}{2})^2+3\times(-\dfrac{3}{2})-1=\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{2}-1\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=-\dfrac{13}{4}}[/tex]
Par conséquent, la tangente à la courbe Cf sera horizontale au point de coordonnées (-3/2 ; -13/4)
4) La tangente à Cf sera parallèle à la droite (D) : y = -3x + 2 si son coefficient directeur est égal à -3.
Si les coordonnées du point de tangence sont (a, f(a)), alors [tex]f'(a)=-3[/tex]
D'où
[tex]2a+3=-3\\2a = -6\\\\\boxed{a=-3}\\\\\Longrightarrow f(a)=(-3)^2+3\times(-3)-1=9-9-1\\\\\Longrightarrow \boxed{f(a)=-1}[/tex]
Par conséquent,
la courbe Cf admettra une tangente parallèle à la droite (D) : y = -3x + 2 en son point de coordonnées (-3 ; -1)
