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Sagot :
1) Les droites (AB) et (AE) sont sécantes en A, et les points O,B,O' et E différents de A, donc puisque AO/AB =AO'/AE = 1/2 (par la réciproque du théorème de Thalès) on a (OO') parallèle à (BE).
Maintenant, puisque (OO') et (BE) sont parallèles, on a par le théorème de Thalès: AO/AB = AO'/AE = OO'/BE = 1/2 donc BE = 2 OO' .
2) Les droites (FG) et (FH) sont sécantes en F, et les points O,G,O' et H différents de F, donc puisque FO/FG =FO'/FH = 1/2 (par la réciproque du théorème de Thalès) on a (OO') parallèle à (GH).
Maintenant, puisque (OO') et (GH) sont parallèles, on a par le théorème de Thalès: FO/FG = FO'/FH = OO'/GH = 1/2 donc GH = 2 OO' .
3) Puisque (GH) est parallèle à (OO'), et (OO') est parallèle à (BE), donc (GH) est parallèle à (BE) (1).
On a aussi BE = 2 OO' et GH = 2 OO' , donc BE = GH (2) .
Par (1) et (2) on peut affirmer que le quadrilatère GHEB est un parallèlogramme.
Maintenant, puisque (OO') et (BE) sont parallèles, on a par le théorème de Thalès: AO/AB = AO'/AE = OO'/BE = 1/2 donc BE = 2 OO' .
2) Les droites (FG) et (FH) sont sécantes en F, et les points O,G,O' et H différents de F, donc puisque FO/FG =FO'/FH = 1/2 (par la réciproque du théorème de Thalès) on a (OO') parallèle à (GH).
Maintenant, puisque (OO') et (GH) sont parallèles, on a par le théorème de Thalès: FO/FG = FO'/FH = OO'/GH = 1/2 donc GH = 2 OO' .
3) Puisque (GH) est parallèle à (OO'), et (OO') est parallèle à (BE), donc (GH) est parallèle à (BE) (1).
On a aussi BE = 2 OO' et GH = 2 OO' , donc BE = GH (2) .
Par (1) et (2) on peut affirmer que le quadrilatère GHEB est un parallèlogramme.
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