On note g la fonction définie sur R par g(x)= 2e^2x+3e^x-e^-x
1. Étudier les variations de g sur R.
g'(x)=4e^(2x)+3e^x+e^(-x)
g'(x)>0
g est croissante sur IR
2.a. Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une solution, et une seule, dans R. Cette solution sera notée a.
* g est continue sur [-1;0]
* g est monotone sur [-1;0]
* g(-1)<0 et g(0)>0
d'après le th des valeurs intermédiaires g(x)=0 possède une solution unique notée a dans l'intervalle [-1;0]
de plus g(x)<g(-1)<0 sur ]-inf;-1] donc g(x)=0 n'as pas de solution sur ]-inf;-1]
de même g(x)>g(0)>0 sur ][0;+inf[ donc g(x)=0 n'as pas de solution sur [0;+inf[
b. En déduire le signe de g(x) selon les valeurs
d'après ce qui précède on a :
g(x)<0 si x<a
g(a)=0
g(x)>0 si x>a
